Trong một quảng trường, người ta gắn hệ trục tọa độ không gian Oxyz (Mỗi đơn vị độ dài trên trục tương ứng 1m) để mô phỏng vị trí các công trình. Mặt phẳng Oxy

Question

Trong một quảng trường, người ta gắn hệ trục tọa độ không gian $O x y z$ (Mỗi đơn vị độ dài trên trục tương ứng $1 m$ ) để mô phỏng vị trí các công trình. Mặt phẳng $O x y$ trùng với mặt đất của quảng trường, trục $O z$ hướng thẳng đứng lên trên. Hai bức tượng nghệ thuật được đặt cố định tại các vị trí $A (1; 2; - 1)$ và $B (- 2; 1; 0)$ . Một trụ đèn chiếu sáng thông minh được lắp đặt trên một tấm kính lớn cố định, có phương trình $(P) : x - 2 y + z + 4 = 0$ . Gọi tọa độ điểm đặt trụ đèn là $M (a; b; c)$ . Để tạo hiệu ứng ánh sáng đối xứng hoàn hảo giữa hai bức tượng, qua tính toán người thiết kế yêu cầu trụ đèn phải cách đều hai điểm $A$ và $B$ sao cho $M A = M B = \frac{11}{2}$ (tham khảo hình vẽ dưới).

Tính giá trị của $2 (a + b + c)$ .

Accepted Answer

Đáp án đúng: 1. Lời giải chi tiết: Đưa bài toán về thuần Oxyz ta được: cho A(1;2;-1), B(-2;1;0) điểm M(a;b;c) thuộc mặt phẳng (P): x-2y+z+4=0 sao cho MA=MB= 11 3 6 . Tìm giá trị của 2(a+b+c) + Gọi (Q) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB, khi đó (Q) qua điểm I (- 1 2 ; 3 2 ;- 1 2 ) và có vec tơ pháp tuyến AB (-3;-1;1), nên có phương trình là: -3 (x+ 1 2 )- (y- 3 2 )+ (z+ 1 2 )=0 -3x-y+z+ 1 2 =0. + Vì MA=MB nên M thuộc mặt phẳng (Q), do đó thỏa mãn hệ + Có MA= 11 2 (x-1) 2 + (4x+ 3 2 ) 2 +(7x+4) 2 = 13 4 x=- 1 2 M (- 1 2 ; 3 2 ;- 1 2 ) + Vậy 2(a+b+c)=1. (Lưu ý: nguồn gốc có sự không nhất quán về giá trị MA=MB giữa đề bài ( 11 2 ), phần đưa về bài toán thuần ( 11 3 6 ) và bước tính ( 11 2 , vế phải 13 4 ); giữ nguyên theo nguồn. Ngoài ra, phương trình ở bước tính với vế phải 13 4 tương ứng 66x 2 +66x+15=0 có hai nghiệm, nên đáp án 2(a+b+c)=1 của nguồn không được chứng minh là duy nhất; giữ nguyên theo nguồn.)

Đề Giữa Học Kỳ II Toán 12 THPT Phan Thúc Trực Sở GD&ĐT Nghệ An 2025-2026 (Mã Đề 2463)

Các câu hỏi khác trong đề (22 câu)