Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Công sai và số hạng cấp số cộng (Toán học Lớp 11)

a) Tìm GTLN của $P=x-2y$.
Từ giả thiết: $5^{x^2-y+1}=\frac{2x+y}{(x+1{)}^2}\iff 5^{(x+1{)}^2}\cdot (x+1{)}^2=5^{2x+y}\cdot (2x+y)$.
Xét hàm số $f(t)=5^t\cdot t$ có đạo hàm luôn lớn hơn 0 với $t>0$, ta suy ra $(x+1{)}^2=2x+y\Rightarrow y=x^2+1$.
Thay vào biểu thức $P$:
$$P=x-2(x^2+1)=-2x^2+x-2$$
GTLN của tam thức bậc hai này đạt được tại $x=\frac{1}{4}$. Vậy $P_{max}=-2{\left(\frac{1}{4}\right)}^2+\frac{1}{4}-2=-\frac{15}{8}$.

b) Dãy số.
Ta có $u_{n+2}-u_{n+1}=u_{n+1}-u_n+1\Rightarrow v_{n+1}=v_n+1$.
Vậy $(v_n)$ là cấp số cộng có $v_1=u_2-u_1=2$ và công sai $d=1$.
Tổng $n$ số hạng đầu của $(v_n)$: $S_n=\frac{n}{2}\left[2\cdot 2+(n-1)\cdot 1\right]=\frac{n(n+3)}{2}$.
Số hạng tổng quát $u_n$: $u_n=u_1+S_{n-1}=-1+\frac{(n-1)(n+2)}{2}=\frac{n^2+n-4}{2}$.