Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình hàm (Toán học Lớp 10, 11, 12)

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $c_0=f(0)$. Thay $x=0$: $f(-2024y)=2025c_0-2024f(y)$. Thay $y=0$: $f(2025x)=2025f(x)-2024c_0$. Đặt $g(x)=f(x)-c_0$, khi đó $g$ liên tục trên $\mathbb{R}$, $g(0)=0$ và thỏa cùng phương trình: $g(2025x-2024y)=2025g(x)-2024g(y)$. Từ đó $g(2025x)=2025g(x)$ nên $g\left(\frac{t}{2025}\right)=\frac{g(t)}{2025}$; và $g(-2024y)=-2024g(y)$ nên $g\left(\frac{t}{-2024}\right)=\frac{g(t)}{-2024}$. Với mọi $a,b\in \mathbb{R}$, viết $a+b=2025\cdot \frac{a}{2025}-2024\cdot \frac{-b}{2024}$: $$g(a+b)=2025g\left(\frac{a}{2025}\right)-2024g\left(\frac{-b}{2024}\right)=g(a)+g(b).$$ Vậy $g$ liên tục và cộng tính, suy ra $g(x)=cx$ với $h\grave{\stackrel{˘}{a}}ngs\acute{\hat{o}}c=g(1)$. Do đó $f(x)=cx+c_0$. Thử lại: $f(2025x-2024y)=c(2025x-2024y)+c_0$ và $2025f(x)-2024f(y)=2025(cx+c_0)-2024(cy+c_0)=c(2025x-2024y)+c_0$, thỏa mãn với mọi $c,c_0$. Kết luận: $f(x)=ax+b$ với $a,b\in \mathbb{R}$ tùy ý (tức mọi hàm affine).

(AI giải đề cho tôi)
Giả sử $P$ khác 0, bậc $n$, hệ số cao nhất $a\ne 0$. Khi đó $(x-8)P(x+1)$ có số hạng cao nhất $a{x}^{n+1}$, còn $8(x-1)P(x)$ có số hạng cao nhất $8a{x}^{n+1}$. Đồng nhất hệ số của $x^{n+1}$: $a=8a\Rightarrow a=0$, mâu thuẫn. Vậy không tồn tại đa thức khác 0. Kiểm tra $P(x)\equiv 0$: hai vế cùng bằng 0 với mọi $x$, thỏa mãn. Cách khác: thay $x=1$ được $P(2)=0$; nếu $P(k)=0$ với $k\ge 2$ thì $(k-8)P(k+1)=0\Rightarrow P(k+1)=0$, suy ra $P$ có vô số nghiệm $2,3,4,\dots$ nên $P\equiv 0$. Kết luận: đa thức duy nhất là $P(x)\equiv 0$.

Trước tiên, ta xét $P(x)$ đồng nhất với 0, thay vào ta được $0=0.0$ (luôn đúng)
Xét trường hợp $P(x)$ không đồng nhất với 0, đặt $\mathrm{deg}P(x)=n(n\ge 0)$

Ta xét bậc của hai vế: $\mathrm{deg}(P(x^2))=2.\mathrm{deg}P=2n$

Đặt $Q(x)=x^3$ và $\mathrm{deg}Q=m=3$, vì vậy:

deg$(x^3.P(x))=\mathrm{deg}(Q.P)=\mathrm{deg}Q+\mathrm{deg}P=3+n$

Vì vậy ta có được $2n=3+n\iff n=3$

Chính vì vậy $P(x)$ là một đa thức bậc 3, nên có dạng tổng quát: $P(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$
$\iff P(x^2)=a{x}^6+b{x}^4+c{x}^2+d$
$\iff x^3.P(x)=x^3.(a{x}^3+b{x}^2+cx+d)=a{x}^6+b{x}^5+c{x}^4+d{x}^3$

Ta cần bằng hệ số:
So sánh các hệ số của $x^6$: $a{x}^6=a{x}^6$ (luôn đúng với mọi $a$)
So sánh các hệ số của $x^5$: $b{x}^4=b{x}^5\iff b=0$
So sánh các hệ số của $x^4$: $c{x}^2=c{x}^4\iff c=0$
So sánh các hệ số của $x^3$: $d=d{x}^3\iff d=0$

Vì vậy đa thức thoả mãn là $P(x)=a{x}^3$ (a là số thực tuỳ ý)

Thử lại $P(x^2)=a{x}^6$ và $x^3.P(x)=a{x}^6$ (đúng)

[Ghi chú sửa lỗi nguồn, do agent sửa câu hỏi: nguồn in 'Ta cần bằng hệ số' (thiếu chữ 'cân') và các đẳng thức so sánh hệ số viết dưới dạng 'bx⁴ = bx⁵ ⟺ b = 0', 'cx² = cx⁴ ⟺ c = 0', 'd = dx³ ⟺ d = 0' (trang 10) — đây là lỗi trình bày của nguồn. Lập luận đúng là: so sánh hệ số của $x^5$, $x^4$, $x^3$ trong đẳng thức $a{x}^6+b{x}^4+c{x}^2+d=a{x}^6+b{x}^5+c{x}^4+d{x}^3$: vế trái không có các lũy thừa $x^5,x^4,x^3$ nên $b=0$, $c=0$, $d=0$. Kết luận cuối cùng $P(x)=a{x}^3$ của nguồn là chính xác và được giữ nguyên.]