Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tham số để tam thức giữ dấu trên miền (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức $f(x)=3x^2+mx+3$ có hệ số $a=3>0$. Để $f(x)\ge 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ thì $\Delta =m^2-4\cdot 3\cdot 3=m^2-36\le 0$, tức $m^2\le 36$, suy ra $-6\le m\le 6$. Vậy $m\in [-6;6]$. Kiểm tra: với $m=\pm 6$, $\Delta =0$, tam thức có nghiệm kép và luôn không âm; với $|m|<6$, $\Delta <0$ và $a>0$ nên $f(x)>0$ với mọi $x$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $m{x}^2+2(m-3)x+4\ge 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.
- Nếu $m=0$: bất phương trình trở thành $-6x+4\ge 0$, không đúng với mọi $x$, loại.
- Với $m>0$: cần $\Delta \le 0$: $\Delta =4(m-3{)}^2-16m\le 0\iff (m-3{)}^2\le 4m\iff m^2-10m+9\le 0\iff 1\le m\le 9$.
Vậy $m\in [1;9]$, tức $a=1,b=9$, nên $a^2-b^2=1-81=-80$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 6: Tìm m để bất phương trình có tập nghiệm là R.

a) Xét $f(x)=2x^2-(m-9)x+m^2+3m+4\ge 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.
Vì hệ số $a=2>0$ nên parabol hướng lên. Bất phương trình $f(x)\ge 0$ đúng với mọi $x$ khi và chỉ khi $\Delta \le 0$.
$$\Delta =(m-9{)}^2-8(m^2+3m+4)=m^2-18m+81-8m^2-24m-32=-7m^2-42m+49=-7(m^2+6m-7).$$
$\Delta \le 0\iff m^2+6m-7\ge 0\iff (m+7)(m-1)\ge 0\iff m\le -7$ hoặc $m\ge 1$.
Vậy $m\in (-\infty ;-7]\cup [1;+\infty )$.

b) Xét $g(x)=(m-4)x^2-(m-6)x+m-5\le 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.
- Nếu $m=4$: $g(x)=2x-1\le 0$ chỉ đúng khi $x\le \frac{1}{2}$, không thỏa mãn.
- Với $m\ne 4$, cần $a=m-4<0\iff m<4$ và $\Delta \le 0$:
$$\Delta =(m-6{)}^2-4(m-4)(m-5)=m^2-12m+36-4m^2+36m-80=-3m^2+24m-44.$$
$\Delta \le 0\iff 3m^2-24m+44\ge 0$. Phương trình $3m^2-24m+44=0$ có nghiệm $m=\frac{24\pm \sqrt{576-528}}{6}=4\pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$.
Suy ra $\Delta \le 0\iff m\le 4-\frac{2\sqrt{3}}{3}$ hoặc $m\ge 4+\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
Kết hợp với $m<4$: $m\le 4-\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
Vậy $m\in \left(-\infty ;4-\frac{2\sqrt{3}}{3}\right]$.

Kiểm tra lại: với $m=1$ ở câu a), $\Delta =-7(1+6-7)=0$, $f(x)=2x^2+8x+8=2(x+2{)}^2\ge 0$ đúng với mọi $x$. Với $m=4-\frac{2\sqrt{3}}{3}\approx 2,845$ ở câu b), $a<0$ và $\Delta =0$, $g(x)\le 0$ đúng với mọi $x$. Kết quả thỏa mãn.

Chọn C.
Hàm số xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi:
$x^2-2(2m-1)x+2m+11>0,\forall x\in \mathbb{R}.$
Điều này tương đương với:
$\{\begin{array}{l}a=1>0\\ {\Delta }^{\prime }=(2m-1{)}^2-(2m+11)<0\end{array}⟺4m^2-4m+1-2m-11<0$
$⟺4m^2-6m-10<0⟺2m^2-3m-5<0⟺-1<m<\frac{5}{2}.$