Số giao điểm của đồ thị hàm số $y=x^4-5x^2+4$ với trục hoành là

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x+3{)}^2+(y+1{)}^2+(z-1{)}^2=4$. Tâm của $(S)$ có tọa độ là

Với $a$ là một số thực dương tùy ý, biểu thức $\sqrt{a^5}$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $(P):2x-y+3z-1=0$ có một vectơ pháp tuyến là

Trong không gian, cho tam giác vuông $ABC$ tại $A$, $AB=a$ và $AC=a\sqrt{3}$. Tính độ dài đường sinh $l$ của hình nón nhận được khi quay tam giác $ABC$ xung quanh trục $AB$.

Số phức $z=(2-i)(3+5i)$ có điểm biểu diễn là

Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay có bán kính đáy $r$ và độ dài đường sinh $l$ bằng

Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=6x+\sin 3x$. Khi đó $F(x)$ bằng

Cho ${\int }_1^{2}f(x)dx=1$ và ${\int }_1^{4}f(t)dt=-3$. Giá trị của ${\int }_2^{4}f(u)du$ là

Cho hai số phức $z_1=2-2i$, $z_2=-3+3i$. Khi đó $z_1-z_2$ bằng

Nghiệm của phương trình $3^{x-1}=27$ là

Cho số phức $z=3-4i$. Số phức liên hợp của $z$ là

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cạnh huyền $BC=a$ (tham khảo hình vẽ).



Hình chiếu vuông góc của $S$ lên $(ABC)$ trùng với trung điểm của cạnh $BC$. Biết $SB=a$, khi đó số đo góc giữa $SA$ và $(ABC)$ bằng

Từ một đội văn nghệ gồm $5$ nam và $8$ nữ cần lập một nhóm gồm $4$ người hát tốp ca. Tính xác suất để trong $4$ người được chọn đều là nam.

Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên $\mathbb{R}$?

Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau:



Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào, trong các khoảng dưới đây?

Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau:



Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là

Đạo hàm của hàm số $y=\log (1-x)$ bằng

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{8-3x}{x+3}$ là đường thẳng

Nghiệm của phương trình ${\log }_2(3x+1)=4$ là

Cho khối lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh $a$ và chiều cao bằng $4a$. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

Cho hàm số $f(x)$ có bảng xét dấu của đạo hàm $f^{\prime }(x)$ như sau:



Hàm số $f(x)$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Cho ${\int }_1^{2}f(x)dx=10$. Khi đó ${\int }_1^2[3f(x)+4]dx$ bằng

Cho tập hợp $S$ gồm $18$ điểm phân biệt. Số đoạn thẳng có $2$ đầu mút phân biệt thuộc tập $S$ là

Cho hàm số $f(x)=3x^2+3^x$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

Tích phân ${\int }_{-1}^2(3x^2+2)dx$ bằng

Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_2=3;u_8=15$. Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

Cho khối lăng trụ có diện tích đáy bằng $8$ và chiều cao bằng $6$. Thể tích của khối lăng trụ đó bằng

Cho số phức $z=1+\sqrt{3}i$. Tìm số phức $(\bar{z}{)}^2$.

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ sau?

Cho ba số phức $z_1,z_2,z_3$ thỏa mãn $z_1=4+i$, $|z_2-z_1|=|z_2-4i-1|$, $|z_3-z_1|=|z_3-4+i|$. Tính giá trị nhỏ nhất của $P=|z_1-z_2|+|z_2-z_3|+|z_3-z_1|$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d_1:\frac{x}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+1}{-2}$ và đường thẳng $d_2:\frac{x+2}{-2}=\frac{y+3}{1}=\frac{z-3}{2}$. Lập phương trình đường thẳng $d$ nằm trong mặt phẳng chứa hai đường thẳng $d_1,d_2$ sao cho ba đường thẳng $d_1,d_2,d$ đồng quy và khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ tới đường thẳng $d$ là lớn nhất.

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$, $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Biết mặt bên của hình chóp là tam giác đều và khoảng từ $O$ đến mặt bên là $a$. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$ theo $a$.

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$ như hình vẽ dưới đây:



Tìm số điểm cực đại của hàm số $y=2020^{-f(x)}-2021^{f(x)}$.

Tính số điểm cực trị của hàm số $f(x)$ biết $f^{\prime }(x)=(x-1)(x^2-2)(x^3-3)(x^4-4)(x^5-5)$ với $x\in \mathbb{R}$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(C):(x-1{)}^2+(y-1{)}^2+(z-1{)}^2=25$. Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $S(3;5;1)$ và cắt mặt cầu tại hai điểm $A$ và $B$ sao cho $AB=6$ (với giả thiết $SA<SB$). Khi $OA$ đạt giá trị lớn nhất, đặt $d(O,\Delta )=M$; còn khi $OA$ đạt giá trị nhỏ nhất, đặt $d(O,\Delta )=m$. Khi đó $(M+m)\cdot 2-M\cdot m$ bằng

Tìm tất cả các giá trị nguyên của $m\in [-21;21]$ để phương trình $\frac{1}{\ln (x+21)}+\frac{1}{8^x-1}=m+x$ có hai nghiệm phân biệt.

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;2;3)$, $B(-1;4;1)$. Phương trình mặt cầu có đường kính $AB$ là

Cho parabol $(P):y=x^2$, điểm $A(0;1)$. Một đường thẳng $d$ đi qua $A$ cắt $(P)$ tại hai điểm $B(b;b^2)$, $C(c;c^2)$ sao cho $AC=4AB$ như hình vẽ bên dưới:



Gọi $S_1$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $(P)$, $d$ và hai đường thẳng $x=b,x=0$; $S_2$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $(P)$, $d$ và hai đường thẳng $x=c,x=0$. Tỉ số diện tích $\frac{S_1}{S_2}$ bằng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông, $AB=a$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=2a$ (minh họa như hình vẽ).



Gọi $M$ là trung điểm của $CD$, khoảng cách từ điểm $M$ và mặt phẳng $(SBD)$ bằng

Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+ax+b& \text{khi }x\ge 2\\ x^3-x^2-8x+10& \text{khi }x<2\end{array}$. Biết hàm số có đạo hàm tại điểm $x=2$. Tính $I={\int }_0^{4}f(x)dx$.

Một mảnh vườn toán học có dạng hình chữ nhật, chiều dài là $16\text{ m}$ và chiều rộng là $8\text{ m}$.



Các nhà Toán học dùng hai đường Parabol, mỗi Parabol có đỉnh là trung điểm của một cạnh dài và đi qua hai mút của cạnh đối diện, phần mảnh vườn nằm ở miền trong của cả hai Parabol (phần tô đậm như hình vẽ) được trồng hoa hồng. Biết chi phí để trồng hoa hồng là $45000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$. Hỏi các nhà Toán học phải chi bao nhiêu tiền để trồng hoa trên phần mảnh vườn đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn).

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{4}=1$. Phương trình tham số đường thẳng qua điểm $O$ và vuông góc mặt phẳng $(P)$ là

Tính diện tích hình biểu diễn của miền phẳng biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn $-2\le -2{\log }_{\frac{1}{3}}\left(|z+1-\sqrt{5}i|\right)\le -{\log }_3(2)-1$.

Cho hàm số đa thức $y=f(x)$. Biết $f^{\prime }(0)=3$, $f^{\prime }(2)=-2018$ và bảng xét dấu của $f^{\prime \prime }(x)$ như sau:



Hàm số $y=f(x+2017)+2018x$ đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm $x_0$ thuộc khoảng nào sau đây?