Câu hỏi Vận dụng & Vận dụng cao môn Toán học

Giá trị lớn nhất của hàm số $y=\sqrt{1-x^2}+x+2$ là $a+\sqrt{b}$, trong đó $a,b$ là các số tự nhiên. Khi đó kết quả $a+b$ bằng bao nhiêu?

Cho hai hình bình hành $ABCD$ và $ABEF$ không cùng nằm trong một mặt phẳng. Trên đường chéo $AC$ lấy điểm $M$, trên đường chéo $BF$ lấy điểm $N$ sao cho $\frac{AM}{AC}=\frac{BN}{BF}=k$ ($0<k<1$). Tìm $k$ để $MN$ song song với $DE$.

Một doanh nghiệp dự định sản xuất các hộp đựng nước giải khát có dạng hình trụ, bán kính đáy là $r$ và chiều cao là $h$, với dung tích là $500c{m}^3$ (tham khảo hình bên dưới). Bán kính đáy chiếc hộp để diện tích toàn phần của vỏ hộp là nhỏ nhất bằng bao nhiêu $cm$? (Kết quả làm tròn đến chữ số hàng phần mười)

Tập nghiệm của bất phương trình $\sqrt{2x^2-5x+2}>1-x$ là:

(0,4 điểm) Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\sqrt{2x+3}-1}{3x^2-x-4}& ;x>-1\\ mx+1& ;x\le -1\end{array}$

Tìm các giá trị của $m$ để hàm số $f(x)$ liên tục tại $x=-1$.

Lát cắt ngang của một vùng đất ven biển được mô hình hoá thành một hàm số bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ (đơn vị độ dài trên các trục là ki-lô-mét).



Biết khoảng cách hai bên chân đồi $OA=2km$, độ rộng của hồ $AB=1km$ và ngọn đồi cao $528m$. Tìm độ sâu của hồ (tính bằng mét) tại điểm sâu nhất? (làm tròn đến hàng đơn vị).

Cho hàm số $y=f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ $(a\ne 0)$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

Cho hàm số $y=\frac{x^2+x+1}{x+1}$.

Một nền tảng học trực tuyến tiến hành khảo sát nhu cầu học tập của người dùng. Kết quả cho thấy tất cả người dùng đều tham gia ít nhất một khóa học. Trong số đó, có $68\%$ người dùng tham gia từ hai khóa trở lên, $37\%$ người dùng tham gia khóa học tiếng Anh. Ngoài ra, trong nhóm người dùng tham gia từ hai khóa trở lên, có $29\%$ người tham gia khóa tiếng Anh.
Gọi $A$ là biến cố "Người dùng tham gia từ hai khóa học trở lên",
$B$ là biến cố "Người dùng tham gia khóa học tiếng Anh". Xét các khẳng định sau:

Cho hàm số bậc bốn $y=f(x)$. Hàm số $y=f^{\prime }(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên.

Cho hai số thực $x,y\in [0;1]$ thỏa mãn $x^2+y^2=-3xy+1$. Tập giá trị của biểu thức $S=x+y$ là đoạn $[a;b]$. Khi đó $a^2+b^2$ bằng:

Cho hai vị trí $A,B$ cách nhau $250m$, cùng nằm về một phía bờ sông như hình vẽ.



Khoảng cách từ $A$ và từ $B$ đến bờ sông lần lượt là $55m$ và $125m$. Một người đi từ $A$ đến bờ sông để lấy nước mang về $B$. Đoạn đường ngắn nhất mà người đó có thể đi là bao nhiêu mét?

Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình bình hành tâm $O$ và có $M,N$ thứ tự là trung điểm của $SA,SD$. Điểm $H$ tùy ý trên đoạn thẳng $OM$. Kết luận nào sai:

Bác thợ hàn dùng một thanh kim loại dài $250cm$ để uốn thành một khung cửa sổ có phần trên là nửa đường tròn bán kính $r$, phần dưới có dạng hình chữ nhật $EABC$, không bao gồm đoạn $EC$ (tham khảo hình vẽ bên dưới).

Diện tích lớn nhất của khung cửa sổ bằng bao nhiêu $c{m}^2$? (Kết quả làm tròn đến chữ số hàng đơn vị)

Bác Minh dự định trồng hoa thược dược và hoa cẩm tú cầu trên một mảnh đất có diện tích 5000 $m^2$ để bán chính vụ Tết. Để trồng 100 $m^2$ hoa thược dược thì cần 3,2 giờ công và thu được 300 000 đồng. Nếu trồng 100 $m^2$ hoa cẩm tú cầu thì cần 4,8 giờ công và thu được 400 000 đồng. Biết rằng, bác Minh chỉ có thể sử dụng không quá 24 ngày công cho việc trồng hai loại hoa nói trên, và 1 ngày công được quy đổi bằng 8 giờ công. Tính số tiền (đơn vị triệu đồng) nhiều nhất mà bác Minh có thể thu được từ việc trồng hoa thược dược và hoa cẩm tú cầu.

Hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}\setminus \{-2;2\}$, có bảng biến thiên như sau:


Gọi $k,l$ lần lượt là số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{1}{f(x)-2018}$. Tính $k+l$.

Quán cà phê Garden muốn thuê bạn Toàn là sinh viên khoa mỹ thuật vẽ trang trí một bức tường hình vuông kích thước $4m$ theo phong cách hình học nhân kỷ niệm 3 năm thành lập quán. Bạn Toàn đề xuất ý tưởng: coi bức tường ban đầu là hình vuông $ABCD$, ta vẽ $\frac{1}{4}$ đường tròn tâm là đỉnh $B$ của hình vuông, bán kính $AB$ và tô màu phần giữa cung tròn vừa vẽ với hình vuông $ABCD$. Từ giao điểm $N$ của đường chéo $BD$ và cung tròn, dựng hình vuông $BMNE$ và lại tiếp tục vẽ $\frac{1}{4}$ đường tròn tâm $B$, bán kính $BM$ sau đó tô màu phần giữa cung tròn mới và hình vuông $BMNE$ (tham khảo hình vẽ trên). Tiếp tục quá trình này cho đến khi tô được 6 mảng màu. Ngoài tiền công vẽ là 500 000 đồng theo thoả thuận, quán Garden phải chịu thêm tiền chi phí mua sơn là 150.000 đồng/ $m^2$. Biết rằng tổng số tiền mà quán Garden phải trả cho bạn Toàn (bao gồm tiền công vẽ và tiền mua sơn) là $a$ (triệu đồng). Hỏi $a$ nhận giá trị bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Một chiếc lều cắm trại có đáy là hình chữ nhật, kích thước là: chiều dài $4m$, chiều rộng $3m$ và chiều cao $1,2m$. Các cạnh bên của lều là các parabol giao nhau tại đỉnh của mỗi parabol đó. Hỏi thể tích phần không gian bên trong lều bằng bao nhiêu mét khối? (Kết quả quy tròn đến hàng phần mười)

Những ngày giáp Tết Nguyên Đán cũng là dịp bước vào vụ Đông Xuân, cây lúa sau khi được cấy trải qua quá trình tăng trưởng đẻ nhánh và phát triển chiều cao trước khi làm đòng, trổ bông. Qua nghiên cứu một giống lúa mới, các nhà khoa học nhận thấy một cây lúa tính từ lúc được cấy bằng một cây mạ với chiều cao $15\text{ cm}$ có tốc độ tăng trưởng chiều cao cho bởi hàm số $v(t)=-0,3t^3+2,2t^2$, trong đó $t$ tính theo tuần, $v(t)$ tính bằng $\text{cm}$/tuần. Gọi $h(t)$ là chiều cao của cây lúa ở tuần thứ $t$ $(t\ge 0,t\in \mathbb{R})$. Biết rằng khi đạt chiều cao lớn nhất cây lúa sẽ dừng phát triển chiều cao để tập trung dinh dưỡng nuôi bông. Tính chiều cao lớn nhất của cây lúa (đơn vị $\text{cm}$, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left|\frac{(2-i)z-3i-1}{z-i}\right|=2$. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các số phức $w=\frac{1}{iz+1}$. Xét các số phức $w_1,w_2\in S$ thỏa mãn $|w_1-w_2|=2$, giá trị lớn nhất của $P=|w_1-4i{|}^2-|w_2-4i{|}^2$ bằng