Câu hỏi Vận dụng & Vận dụng cao môn Toán học

Câu 6. Một hình chữ nhật kích thước $8\text{ cm}\times 10\text{ cm}$ được chia thành các hình vuông đơn vị cạnh $1\text{ cm}$ bởi các đường thẳng song song với các cạnh của hình chữ nhật (hình vẽ). Chọn ngẫu nhiên một hình chữ nhật từ lưới hình vuông. Gọi $a,b$ là các kích thước của hình chữ nhật được chọn. Biết xác suất để $ab<a+b$ là $\frac{m}{n}$ ($m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ và phân số $\frac{m}{n}$ tối giản), tính giá trị của biểu thức $m+n$.

Tam giác đều $A_1{B}_1{C}_1$ có cạnh $3a$, diện tích $S_1$. Trên các cạnh $A_1{B}_1,B_1{C}_1,C_1{A}_1$ lần lượt lấy các điểm $A_2,B_2,C_2$ thỏa mãn $A_1{B}_1=3A_1{A}_2,B_1{C}_1=3B_1{B}_2,C_1{A}_1=3C_1{C}_2$ ta được tam giác $A_2{B}_2{C}_2$ có diện tích $S_2$. Tiếp tục như thế ta được tam giác thứ ba $A_3{B}_3{C}_3$ có diện tích $S_3$. Tương tự như thế, ta được diện tích $S_4,S_5,\dots$. Giá trị $S=S_1+S_2+S_3+\cdots +S_{23}$ thuộc khoảng:

Trong mặt phẳng $Oxy$, cho $△ABC$ có $M(-2;1)$ là trung điểm $AB$. Đường trung tuyến và đường cao qua $A$ lần lượt là: $d_1:x+y-7=0$ và $d_2:5x+3y-29=0$. Phương trình đường thẳng $AC$ có dạng $ax+by-1=0$. Tính $T=a-2b$.

Trên giá sách có 7 quyển sách Toán, 5 quyển sách Lý, 3 quyển sách Hóa. Lấy ngẫu nhiên 5 quyển sách. Tính xác suất để mỗi loại có ít nhất một quyển.

Từ tập hợp số các số tự nhiên liên tiếp $\{1;2;3;\dots ;25;26\}$ cần chọn ra $10$ số phân biệt để gán vào $10$ ô vuông đơn vị như hình vẽ dưới đây. Gọi $T$ là số cách chọn số sao cho mọi số ở hàng trên luôn nhỏ hơn mọi số ở hàng dưới, mọi số bên trái luôn nhỏ hơn mọi số bên phải cùng hàng, đồng thời các số thuộc các ô $A,B,C,D$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Giá trị $\frac{T}{8}$ bằng bao nhiêu?

Một bể chứa $3m^3$ nước tinh khiết. Người ta bơm vào bể đó nước muối có nồng độ không đổi cho mỗi lít nước với tốc độ 20 lít/phút. Biết rằng nồng độ muối trong bể sau $t$ phút (tính bằng tỉ số của khối lượng muối trong bể và thể tích nước trong bể, đơn vị: gam/lít) là một hàm số $f(t)$, thời gian $t$ tính bằng phút. Biết rằng tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $f(t)$ là $y=11$. Nồng độ muối trong bể sau khi bơm được 1 giờ là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Một cửa hàng kinh doanh online dự định phân bổ ngân sách quảng cáo trong một tháng cho hai kênh Facebook và TikTok. Biết rằng tổng ngân sách không vượt quá $80$ triệu đồng, số tiền chi cho Facebook không ít hơn $20$ triệu đồng và không vượt quá $50$ triệu đồng, số tiền chi cho TikTok tối thiểu là $10$ triệu đồng và không vượt quá số tiền chi cho Facebook. Biết rằng với mỗi $1$ triệu đồng chi cho quảng cáo trên Facebook thì cửa hàng tiếp cận được khoảng $40$ nghìn khách hàng, còn với mỗi $1$ triệu đồng chi cho quảng cáo trên TikTok thì tiếp cận được khoảng $50$ nghìn khách hàng. Số khách hàng mà cửa hàng này có thể tiếp cận được nhiều nhất trong một tháng là bao nhiêu nghìn khách hàng?

Bất phương trình $m{x}^2-mx+m+3\le 0$ có nghiệm đúng với mọi $x$ khi

Cho hàm số $y=f(x)=a{x}^2+bx+c$ có đồ thị như hình vẽ.

Biết $f_2(x)=f(f(x))$. Số nghiệm của phương trình $f_{2019}(x)=-2$ trên $[-2;2]$ là:

Tìm hệ số của $x^4$ trong khai triển ${\left(x-\frac{1}{x^2}\right)}^n$ ($x\ne 0$) biết $720\left(C_7^7+C_8^7+\cdots +C_n^7\right)=\frac{1}{4032}{A}_{n+1}^{10}$.

Cho đa giác đều 36 đỉnh. Chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh trong 36 đỉnh của đa giác. Tính xác suất để 4 đỉnh được chọn tạo thành một hình vuông.

Cho hai hình bình hành $ABCD$ và $ABEF$ không cùng nằm trong một mặt phẳng. Trên đường chéo $AC$ lấy điểm $M$, trên đường chéo $BF$ lấy điểm $N$ sao cho $\frac{AM}{AC}=\frac{BN}{BF}=k$ ($0<k<1$). Tìm $k$ để $MN$ song song với $DE$.

Tập nghiệm của bất phương trình $\sqrt{2x^2-5x+2}>1-x$ là:

Cho hàm số $y=\frac{x^2+x+1}{x+1}$.

Cho hai số thực $x,y\in [0;1]$ thỏa mãn $x^2+y^2=-3xy+1$. Tập giá trị của biểu thức $S=x+y$ là đoạn $[a;b]$. Khi đó $a^2+b^2$ bằng:

Bác Minh dự định trồng hoa thược dược và hoa cẩm tú cầu trên một mảnh đất có diện tích 5000 $m^2$ để bán chính vụ Tết. Để trồng 100 $m^2$ hoa thược dược thì cần 3,2 giờ công và thu được 300 000 đồng. Nếu trồng 100 $m^2$ hoa cẩm tú cầu thì cần 4,8 giờ công và thu được 400 000 đồng. Biết rằng, bác Minh chỉ có thể sử dụng không quá 24 ngày công cho việc trồng hai loại hoa nói trên, và 1 ngày công được quy đổi bằng 8 giờ công. Tính số tiền (đơn vị triệu đồng) nhiều nhất mà bác Minh có thể thu được từ việc trồng hoa thược dược và hoa cẩm tú cầu.

Một cửa hàng có $6$ giỏ trái cây (mỗi giỏ chứa một loại trái cây khác nhau). Người quản lý muốn bày tất cả chúng lên $3$ quầy hàng khác nhau, sao cho:
+ Mỗi quầy có ít nhất một giỏ trái cây.
+ Không xét thứ tự xếp các giỏ trên cùng một quầy.
+ Hai cách sắp xếp được xem là khác nhau nếu có ít nhất một giỏ trái cây được đặt ở quầy khác nhau.
Hỏi có bao nhiêu cách bày các giỏ trái cây vào $3$ quầy hàng đã cho?

Trong một cuộc thi làm bánh, mỗi đội chỉ được sử dụng tối đa $6kg$ bột mì và $4kg$ dầu để làm ra bánh loại I và bánh loại II. Với mỗi chiếc bánh loại I cần $0,06kg$ bột mì và $0,08kg$ dầu, với mỗi chiếc bánh loại II cần $0,08kg$ bột mì và $0,04kg$ dầu. Mỗi chiếc bánh loại I được 8 điểm, mỗi chiếc bánh loại II được 10 điểm. Số điểm tối đa có thể đạt được của mỗi đội bằng bao nhiêu?

(Ghi chú: nguồn mã 522 in "dầu"; đề mã 0106 in "đậu".)

Hai hộp bi mỗi hộp chứa 8 bi trắng, 2 bi đỏ. Cho hai người mỗi người một hộp. Từ hộp của mình, mỗi người lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính xác suất để hai người lấy được số bi đỏ như nhau.

Một chiếc hộp đựng 8 viên bi màu trắng và được đánh số từ 1 đến 8; 9 viên bi màu xanh được đánh số từ 1 đến 9 và 10 viên bi màu đỏ được đánh số từ 1 đến 10. Có bao nhiêu cách chọn 3 viên bi có số ghi trên đó đôi một khác nhau?