(1,5 điểm) Cho hàm số $y=\frac{3x+3}{x-1}$ có đồ thị $(C)$. Gọi $S$ là tập hợp các đường thẳng có điểm chung với đồ thị $(C)$ sao cho tất cả điểm chung của mỗi đường thẳng đó với đồ thị $(C)$ đều có tọa độ là các số nguyên. Tìm số phần tử của tập hợp $S$.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $y=\frac{3x+3}{x-1}=3+\frac{6}{x-1}$, đồ thị $(C)$ là hyperbol có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=3$.

**Bước 1: Tìm các điểm nguyên trên $(C)$.**
Điểm $(x,y)\in (C)$ có tọa độ nguyên khi $x\ne 1$, $x$ nguyên và $\frac{6}{x-1}$ nguyên, tức $x-1\in \{\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6\}$. Ta được 6 điểm:
$$A(2;9),B(0;-3),C(3;6),D(-1;0),E(4;5),F(-5;2).$$

**Bước 2: Phân loại đường thẳng có điểm chung với $(C)$.**
Một đường thẳng bất kỳ cắt hyperbol tại nhiều nhất 2 điểm. Xét 3 trường hợp:

• **Đường thẳng đứng $x=a$ ($a\ne 1$):** cắt $(C)$ tại duy nhất điểm $(a;3+\frac{6}{a-1})$. Để tọa độ nguyên cần $a$ nguyên và $a-1\mid 6$, cho đúng 6 đường thẳng: $x=2,0,3,-1,4,-5$. (Đường $x=1$ không có điểm chung nên bị loại.) → 6 đường.

• **Đường thẳng ngang $y=c$:** cắt $(C)$ tại duy nhất điểm $(1+\frac{6}{c-3};c)$. Để tọa độ nguyên cần $c$ nguyên và $c-3\mid 6$, cho 6 đường: $y=9,-3,6,0,5,2$. (Đường $y=3$ không có điểm chung, bị loại.) → 6 đường.

• **Đường thẳng $y=mx+b$ với $m\ne 0$:** phương trình hoành độ giao điểm là $(mx+b-3)(x-1)=6$, phương trình bậc hai (vì $x=1$ không thể là nghiệm), luôn có 2 nghiệm (kể cả nghiệm kép). Do đó:
- Nếu cắt $(C)$ tại 2 điểm phân biệt: cả 2 điểm phải nguyên, tức đường thẳng đi qua 2 trong 6 điểm nguyên ở Bước 1. Kiểm tra thấy không có 3 điểm nào trong 6 điểm thẳng hàng (các hệ số góc giữa các cặp điểm đôi một khác nhau hoặc là đường thẳng phân biệt), nên số đường secant là $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2}\right)=15$. → 15 đường.
- Nếu tiếp xúc (nghiệm kép): tiếp điểm phải là điểm nguyên, và mỗi điểm nguyên cho đúng 1 tiếp tuyến. → 6 tiếp tuyến.

**Bước 3: Kết luận.**
$$|S|=6+6+15+6=33.$$