(2,0 điểm) Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh 2, mặt bên $B{B}^{\prime }{C}^{\prime }C$ là hình chữ nhật và cạnh bên $A{A}^{\prime }=2\sqrt{3}$. Biết rằng tam giác $A{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có diện tích bằng 3.

a) Tính thể tích của khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$.

b) Xét $O$ là điểm bất kì nằm trong hình bình hành $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ và $a$, $b$ lần lượt là khoảng cách từ điểm $O$ đến các mặt phẳng $(B{B}^{\prime }{C}^{\prime }C),(A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C)$. Chứng minh $4a+b\sqrt{13}=6$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: B(0;0;0), C(2;0;0), A(1;√3;0). Vì BB'C'C là hình chữ nhật nên vecto cạnh bên v = BB' = AA' = (0;w;z) vuông góc BC và |v| = 2√3, tức w² + z² = 12. Khi đó B'(0;w;z), C'(2;w;z), A'(1;√3+w;z). Diện tích tam giác AB'C' = ½·B'C'·d(A, B'C') với B'C' = 2 song song trục Ox, nên d(A, B'C')² = (√3 − w)² + z². Diện tích bằng 3 nên d = 3: (√3 − w)² + z² = 9. Kết hợp w² + z² = 12 suy ra 3 − 2√3w = −3, tức w = √3, z = 3. Vậy chiều cao lăng trụ (khoảng cách giữa hai đáy) là z = 3.

a) Thể tích V = S_ABC·h = (√3·4/4)·3 = √3·3 = 3√3.

b) Với w = √3, z = 3: B'(0;√3;3), v = (0;√3;3). Mặt phẳng (BB'C'C) chứa BC và BB' có vecto pháp tuyến n₁ = BC × v = (0;−3;√3), |n₁| = 2√3. Mặt phẳng (AA'C'C) chứa AC = (1;−√3;0) và v có pháp tuyến n₂ = AC × v = (−3√3;−3;√3), |n₂| = √39 = √(3·13) = √3·√13.

Điểm O bất kỳ trong hình bình hành ABB'A' viết được O = B + s·BA + t·v với 0 ≤ s ≤ 1 (s = BA'/... tỉ lệ vị trí O trên đoạn chạy từ BB' đến AA').

Khoảng cách từ O đến (BB'C'C): O·n₁ = s(A·n₁) = s(−3√3), nên a = 3√3·s/(2√3) = (3/2)s.

Khoảng cách từ O đến (AA'C'C): O − A = (s−1)A + t·v; vì v·n₂ = 0 và A·n₂ = −6√3, nên b = (1−s)·6√3/√39 = (1−s)·6/√13.

Do đó 4a + b√13 = 4·(3/2)s + (1−s)·6 = 6s + 6 − 6s = 6. Đpcm.