Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, $\widehat{ABC}=30^{\circ }$; $\widehat{SBA}=\widehat{SCA}=90^{\circ }$, $SA=2\sqrt{7}$ và $BC=4$. Gọi $\alpha$ là số đo của góc nhị diện $\left[S,BC,A\right]$, giá trị của $\tan \alpha$ bằng bao nhiêu?

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC vuông tại A, góc B = 30°, BC = 4 nên AB = 4cos30° = 2√3, AC = 2. Gọi H là hình chiếu của A trên BC, ta có AH = AB·sin30° = √3, BH = AB·cos30° = 3. Vì SBA = 90° nên SB ⊥ AB, suy ra SB² = SA² − AB² = 28 − 12 = 16, SB = 4. Trong tam giác vuông SBH (H thuộc BC): SH² = SB² − BH² = 16 − 9 = 7, SH = √7. Góc nhị diện [S,BC,A] có cạnh BC, AH ⊥ BC và SH ⊥ BC nên tan α = SH/AH = √7/√3 = √21/3.