Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2 và . Biết rằng cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng , và G là trọng tâm tam giác SAB. Xét M là một điểm di động trên đường thẳng BD (tham khảo hình bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và GM bằng bao nhiêu?
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2 và . Biết rằng cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng , và G là trọng tâm tam giác SAB. Xét M là một điểm di động trên đường thẳng BD (tham khảo hình bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và GM bằng bao nhiêu?
Đáp án chính thức: \dfrac{\sqrt{2}}{2}
Hướng dẫn giải chi tiết
(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: A(0,0,0), B(2,0,0), D(-1,√3,0), C(1,√3,0), S(0,0,2). Trọng tâm G của tam giác SAB: G(2/3, 0, 2/3). Điểm M trên BD: M(2-3t, √3t, 0). Vectơ chỉ phương: u_SC = (1,√3,-2), v_GM = (4/3-3t, √3t, -2/3). Tính tích có hướng: u×v = (t-1/3)·(2√3, 6, 4√3), luôn song song với vectơ cố định w=(2√3,6,4√3). Khoảng cách d(SC,GM) = |(S-G)·w|/|w| với S-G=(-2/3,0,4/3): (S-G)·w = -4√3/3 + 16√3/3 = 4√3; |w| = √(12+36+48) = 4√6. Vậy d = 4√3/(4√6) = 1/√2 = √2/2 (không đổi theo vị trí M).
Chọn hệ trục: A(0,0,0), B(2,0,0), D(-1,√3,0), C(1,√3,0), S(0,0,2). Trọng tâm G của tam giác SAB: G(2/3, 0, 2/3). Điểm M trên BD: M(2-3t, √3t, 0). Vectơ chỉ phương: u_SC = (1,√3,-2), v_GM = (4/3-3t, √3t, -2/3). Tính tích có hướng: u×v = (t-1/3)·(2√3, 6, 4√3), luôn song song với vectơ cố định w=(2√3,6,4√3). Khoảng cách d(SC,GM) = |(S-G)·w|/|w| với S-G=(-2/3,0,4/3): (S-G)·w = -4√3/3 + 16√3/3 = 4√3; |w| = √(12+36+48) = 4√6. Vậy d = 4√3/(4√6) = 1/√2 = √2/2 (không đổi theo vị trí M).