(2,0 điểm) Cho điểm $M(-1;2)$ và hàm số $y=\frac{x+1}{x-1}$ có đồ thị $(C)$. Tìm tọa độ các điểm $A$, $B$ thuộc đồ thị $(C)$ sao cho các tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ tại $A$ và $B$ song song với nhau, đồng thời tam giác $MAB$ là tam giác cân tại $M$. Biết rằng điểm $A$ có hoành độ lớn hơn 1.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=\frac{-2}{(x-1{)}^2}$. Gọi $A\left(a;\frac{a+1}{a-1}\right)$, $B\left(b;\frac{b+1}{b-1}\right)$ với $a,b\ne 1$, $a\ne b$, $a>1$.

Hai tiếp tuyến song song khi $y^{\prime }(a)=y^{\prime }(b)\iff (a-1{)}^2=(b-1{)}^2$. Vì $a\ne b$ nên $b-1=-(a-1)\iff a+b=2$, tức $b=2-a$.

Khi đó $y_B=\frac{b+1}{b-1}=\frac{3-a}{1-a}=\frac{a-3}{a-1}$.

Tam giác $MAB$ cân tại $M$ nên $MA=MB$:
$$M{A}^2=(a+1{)}^2+{\left(\frac{a+1}{a-1}-2\right)}^2=(a+1{)}^2+\frac{(3-a{)}^2}{(a-1{)}^2},$$
$$M{B}^2=(b+1{)}^2+{\left(\frac{a-3}{a-1}-2\right)}^2=(3-a{)}^2+\frac{(a+1{)}^2}{(a-1{)}^2}.$$

$M{A}^2-M{B}^2=\left[(a+1{)}^2-(3-a{)}^2\right]\left(1-\frac{1}{(a-1{)}^2}\right)=0.$

Trường hợp 1: $(a+1{)}^2=(3-a{)}^2\Rightarrow a+1=3-a$ (cho $a=1$, loại vì $a>1$) hoặc $a+1=-(3-a)$ (vô nghiệm).

Trường hợp 2: $(a-1{)}^2=1\Rightarrow a=0$ hoặc $a=2$. Kết hợp $a>1$ được $a=2$, suy ra $b=0$.

Vậy $A(2;3)$, $B(0;-1)$. Kiểm tra: $MA=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}=MB=\sqrt{1^2+(-3{)}^2}$; hệ số góc tiếp tuyến tại cả hai điểm đều bằng $-2$, nên hai tiếp tuyến song song. Thỏa mãn đề bài.