(2 điểm) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang $(AD//BC),AD=2BC$. Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Lấy $K$ thuộc đoạn thẳng $AB$ sao cho $AK=2KB$, $G$ là trung điểm $SD$, $H$ là trọng tâm tam giác $SAD$.

a. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(AHK)$ và $(SBD)$.

b. Gọi $L$ là giao điểm của mặt phẳng $(KOH)$ và đường thẳng $SD$. Chứng minh $\frac{DL}{DG}=\frac{2}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
CHÚ Ý: Đáp án dưới đây do AI lập (đề bài PDF không có lời giải chi tiết).

Chuẩn bị: Vì $AD\parallel BC$ và $AD=2BC$ nên trong tam giác $BDC$ (kéo dài) ta có $\frac{AO}{OC}=\frac{DO}{OB}=\frac{AD}{BC}=2$, tức $O$ thuộc đoạn $AC$ với $AO=2OC$ và $O$ thuộc đoạn $BD$ với $DO=2OB$.

a. Tìm giao tuyến của $(AHK)$ và $(SBD)$

- Vì $K\in AB$ nên $A,K,B$ thẳng hàng, do đó $B\in (AHK)$; hiển nhiên $B\in (SBD)$. Vậy $B$ là một điểm chung.
- Xét mặt phẳng $(SAD)$: đường thẳng $AH$ nằm trong $(SAD)$, cắt đường thẳng $SD$ (cũng nằm trong $(SAD)$) tại $P$. Khi đó $P\in AH\subset (AHK)$ và $P\in SD\subset (SBD)$, tức $P$ là điểm chung thứ hai.
- Vậy giao tuyến của $(AHK)$ và $(SBD)$ là đường thẳng $BP$.
- Nhận xét (kiểm tra bằng vectơ): Chọn $B$ làm gốc, đặt $\overrightarrow{BC}=\vec{c}$, $\overrightarrow{BA}=\vec{a}$ thì $\overrightarrow{BD}=\vec{a}+2\vec{c}$ (vì $AD=2BC$ cùng hướng). Với $\overrightarrow{BS}=\vec{s}$:
$$K=\frac{1}{3}\vec{a},H=\frac{\vec{s}+\vec{a}+\vec{d}}{3}\Rightarrow \overrightarrow{KH}=\frac{\vec{s}+\vec{d}}{3},$$
trong đó $\vec{d}=\overrightarrow{BD}$. Gọi $P$ là trung điểm $SD$ thì $\overrightarrow{BP}=\frac{\vec{s}+\vec{d}}{2}\parallel \overrightarrow{KH}$. Thật vậy, ta kiểm tra $AH\cap SD$ chính là trung điểm $SD$: vì $H=\frac{\vec{s}+2\vec{M}}{3}$ với $M$ trung điểm $AD$, đường $AH$ cắt $SD$ tại điểm với tỉ số $\lambda =\frac{3}{2}$ trên $AH$ ứng với $\nu =\frac{1}{2}$ trên $SD$, tức $P$ là trung điểm $SD$.
Kết luận: giao tuyến là đường thẳng $BP$ với $P$ là trung điểm $SD$ (và $BP\parallel HK$).

b. Chứng minh $\frac{DL}{DG}=\frac{2}{3}$

Chọn $B$ làm gốc vectơ, đặt $\overrightarrow{BA}=\vec{a}$, $\overrightarrow{BC}=\vec{c}$, $\overrightarrow{BS}=\vec{s}$; khi đó $\overrightarrow{BD}=\vec{d}=\vec{a}+2\vec{c}$.

- $AK=2KB\Rightarrow \overrightarrow{BK}=\frac{1}{3}\vec{a}$, tức $K=\frac{a}{3}$.
- $O$ trên $AC$ với $AO=2OC\Rightarrow \overrightarrow{BO}=\frac{\vec{a}+2\vec{c}}{3}=\frac{\vec{d}}{3}$.
- $H$ trọng tâm $△SAD$: $\overrightarrow{BH}=\frac{\vec{s}+\vec{a}+\vec{d}}{3}$.
- $G$ trung điểm $SD$: $\overrightarrow{BG}=\frac{\vec{s}+\vec{d}}{2}$.

Gọi $L^{\ast }$ là điểm trên $SD$ sao cho $\overrightarrow{B{L}^{\ast }}=\frac{\vec{s}+2\vec{d}}{3}$ (tức $S{L}^{\ast }:L^{\ast }D=2:1$). Ta chứng minh $L^{\ast }\in (KOH)$:
$$\overrightarrow{B{L}^{\ast }}=-\overrightarrow{BK}+\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{BH}.$$
Kiểm tra: $-\frac{a}{3}+\frac{d}{3}+\frac{s+a+d}{3}=\frac{s+2d}{3}$ ✓, và hệ số $-1+1+1=1$ nên $L^{\ast }$ là tổ hợp affine của $K,O,H$, suy ra $L^{\ast }\in (KOH)$.

Mặt khác $L^{\ast }\in SD$ nên $L^{\ast }$ chính là giao điểm $L$ của $(KOH)$ với $SD$. Vì $\overrightarrow{BL}=\frac{\vec{s}+2\vec{d}}{3}=\frac{1}{3}\vec{s}+\frac{2}{3}\vec{d}$, điểm $L$ chia đoạn $SD$ theo tỉ số $\frac{SL}{LD}=\frac{2}{1}$, suy ra $LD=\frac{1}{3}SD$.

Vì $G$ là trung điểm $SD$ nên $DG=\frac{1}{2}SD$. Do đó:
$$\frac{DL}{DG}=\frac{\frac{1}{3}SD}{\frac{1}{2}SD}=\frac{2}{3}.■$$