Một chiếc bánh có dạng hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi $N,I$ lần lượt là trung điểm của cạnh $SC,AB$. Lấy điểm $M$ đối xứng với $B$ qua $A$.

[Hình cần kiểm tra lại: p12_f2]

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A=\vec{0}$, $B=\vec{b}$, $D=\vec{d}$, $C=\vec{b}+\vec{d}$ (hình bình hành), $M=-\vec{b}$ (đối xứng $B$ qua $A$), $O=\frac{\vec{b}+\vec{d}}{2}$, $N=\frac{\vec{s}+\vec{b}+\vec{d}}{2}$ với $S=\vec{s}$.

a) $K=MO\cap AD$: $-\vec{b}+t\frac{3\vec{b}+\vec{d}}{2}=\lambda \vec{d}\Rightarrow t=\frac{2}{3},\lambda =\frac{1}{3}$, tức $K=\frac{\vec{d}}{3}$. Trong tam giác $SAC$, $N$ trung điểm $SC$, $O$ trung điểm $AC$ nên $NO\parallel SA$. Xét điểm $K+\mu \vec{s}$: phân tích được $\alpha M+\beta O+\gamma N$ với $\alpha =\frac{1}{3},\beta +\gamma =\frac{2}{3}$, nên đường thẳng qua $K$ song song $SA$ (đồng thời song song $NO$) nằm trong cả $(MON)$ lẫn $(SAD)$. Vậy giao tuyến là $d$ qua $K$ song song $NO,SA$ → đúng.

b) Vì $d\subset (SAD)$ và $G=d\cap MN$ nên $G\in (SAD)\cap MN$, tức $G$ là giao điểm của $MN$ với $(SAD)$ → đúng.

c) Điểm trên $MN$: $M+u(N-M)=-\vec{b}+u\frac{\vec{s}+3\vec{b}+\vec{d}}{2}$. Cho bằng $\frac{\vec{d}}{3}+\mu \vec{s}$: hệ số $\vec{b}$ cho $-1+\frac{3u}{2}=0\Rightarrow u=\frac{2}{3}$ (hệ số $\vec{d}$: $\frac{u}{3}=\frac{1}{3}$ thỏa). Vậy $\frac{MG}{MN}=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{GM}{GN}=2$. Mặt khác $AM=AB$, $AI=\frac{AB}{2}$ nên $\frac{AM}{AI}=2$. Tỉ số đúng là $2$, không phải $3$ → sai.

d) Vì $AD\parallel BC$, $AD\subset (SAD)$, $BC\subset (SCB)$ nên giao tuyến của $(SAD)$ và $(SCB)$ là đường thẳng qua $S$ song song với $AD$ (và $BC$). Điểm $O$ không thuộc mặt phẳng $(SAD)$ (và $(SCB)$) nói chung, nên giao tuyến không thể là $SO$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAC$, $NO$ là đường trung bình nên $NO\parallel SA$. Đường thẳng qua $K$ song song $SA$ nằm trong $(SAD)$; kiểm tra bằng tọa độ thấy nó cũng nằm trong $(MON)$ (với $K=\frac{\vec{d}}{3}$, điểm $K+\mu \vec{s}$ phân tích được qua $M,O,N$). Vậy giao tuyến là $d$ qua $K$ song song $NO,SA$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$d$ nằm trong $(SAD)$ nên $G=d\cap MN\in (SAD)$; do đó $G$ là giao điểm của $MN$ với $(SAD)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tính tọa độ cho $\frac{MG}{MN}=\frac{2}{3}$ nên $\frac{GM}{GN}=2$; cũng $\frac{AM}{AI}=\frac{AB}{AB/2}=2$. Tỉ số đúng là $2$, không phải $3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $AD\parallel BC$ nên giao tuyến của $(SAD)$ và $(SCB)$ là đường thẳng qua $S$ song song $AD\parallel BC$, không phải $SO$ (vì $O$ không thuộc hai mặt phẳng đó).