Biết số phức $z=a+bi$ ($a,b\in \mathbb{R}$) có phần ảo khác $0$ và thỏa mãn $|z-(2+i)|=\sqrt{10}$ và $z\cdot \bar{z}=25$. Khi đó $T=a+2b$ bằng?

Chọn B.
Ta có $z\cdot \bar{z}=|z{|}^2=a^2+b^2=25$.
Mặt khác, $|z-(2+i){|}^2=(a-2{)}^2+(b-1{)}^2=10$
$$⟺a^2-4a+4+b^2-2b+1=10⟺(a^2+b^2)-4a-2b+5=10.$$
Thay $a^2+b^2=25$ vào:
$$25-4a-2b+5=10⟺30-10=4a+2b⟺4a+2b=20⟺2a+b=10⟺b=10-2a.$$
Thay vào $a^2+b^2=25$:
$$a^2+(10-2a{)}^2=25⟺a^2+100-40a+4a^2=25⟺5a^2-40a+75=0⟺a^2-8a+15=0.$$
Phương trình có 2 nghiệm: $a=3$ hoặc $a=5$.
- Với $a=5⟹b=10-2(5)=0$ (loại vì phần ảo khác $0$).
- Với $a=3⟹b=10-2(3)=4\ne 0$ (thỏa mãn).
Khi đó $T=a+2b=3+2(4)=11$.