Câu 16 (2,0 điểm).

Cho hàm số $y=\frac{2x}{x-1}$ có đồ thị $(C)$. Tìm tất cả điểm $M$ thuộc $(C)$ sao cho tổng khoảng cách từ $M$ đến các đường thẳng ${\Delta }_1:2x+y-5=0$ và ${\Delta }_2:x+2y-4=0$ là nhỏ nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M\left(x;\frac{2x}{x-1}\right)$ với $x\ne 1$.

Khoảng cách từ $M$ đến ${\Delta }_1:2x+y-5=0$:
$$d(M,{\Delta }_1)=\frac{\left|2x+\frac{2x}{x-1}-5\right|}{\sqrt{5}}=\frac{\left|2x^2-5x+5\right|}{\sqrt{5}|x-1|}=\frac{2x^2-5x+5}{\sqrt{5}|x-1|},$$
vì $2x^2-5x+5>0$ (delta $=25-40<0$, $a>0$).

Khoảng cách từ $M$ đến ${\Delta }_2:x+2y-4=0$:
$$d(M,{\Delta }_2)=\frac{\left|x+\frac{4x}{x-1}-4\right|}{\sqrt{5}}=\frac{x^2-x+4}{\sqrt{5}|x-1|},$$
vì $x^2-x+4>0$ (delta $=1-16<0$, $a>0$).

Tổng khoảng cách:
$$S=\frac{3x^2-6x+9}{\sqrt{5}|x-1|}=\frac{3\left[(x-1{)}^2+2\right]}{\sqrt{5}|x-1|}.$$

Đặt $t=|x-1|>0$, khi đó $S=\frac{3}{\sqrt{5}}\left(t+\frac{2}{t}\right)\ge \frac{3}{\sqrt{5}}\cdot 2\sqrt{2}=\frac{6\sqrt{10}}{5}$ (AM-GM), dấu bằng khi $t=\sqrt{2}$, tức $x=1\pm \sqrt{2}$.

Với $x=1+\sqrt{2}$: $y=\frac{2(1+\sqrt{2})}{\sqrt{2}}=2+\sqrt{2}$.

Với $x=1-\sqrt{2}$: $y=\frac{2(1-\sqrt{2})}{-\sqrt{2}}=2-\sqrt{2}$.

Vậy có hai điểm thỏa mãn: $M_1\left(1+\sqrt{2};2+\sqrt{2}\right)$ và $M_2\left(1-\sqrt{2};2-\sqrt{2}\right)$, tổng khoảng cách nhỏ nhất bằng $\frac{6\sqrt{10}}{5}$.