Cho hàm số $f(x)=\ln \left(e^{\frac{x}{1013}}+e\right)$. Giá trị của biểu thức $S=f^{\prime }(1)+f^{\prime }(2)+\dots +f^{\prime }(2025)$ bằng bao nhiêu?

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{1}{1013}\cdot \frac{e^{x/1013}}{e^{x/1013}+e}=\frac{1}{1013\left(1+e^{1-x/1013}\right)}=\frac{1}{1013}-\frac{1}{1013\left(1+e^{(x-1013)/1013}\right)}$ (vì $\frac{1}{1+e^{1-u}}=1-\frac{1}{1+e^{u-1}}$). Do đó $S=\frac{2025}{1013}-\frac{1}{1013}{\sum }_{k=1}^{2025}\frac{1}{1+e^{(k-1013)/1013}}$. Xét tổng $T={\sum }_{k=1}^{2025}\frac{1}{1+e^{(k-1013)/1013}}$: ghép cặp $k$ với $2026-k$ (tổng số mũ bằng 0), mỗi cặp cho $\frac{1}{1+e^a}+\frac{1}{1+e^{-a}}=1$; có 1012 cặp và số hạng giữa $k=1013$ bằng $\frac{1}{2}$. Vậy $T=1012+\frac{1}{2}=\frac{2025}{2}$. Suy ra $S=\frac{2025}{1013}-\frac{2025}{2\cdot 1013}=\frac{2025}{2026}$.