Cho $y=f(x)$ là hàm số đa thức bậc ba có đồ thị như hình vẽ:

Hàm số $g(x)=f\left(f(x)-1\right)-3$ có bao nhiêu điểm cực đại?

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: $f(0)=1$, hàm nghịch biến tại $x=0$, đạt cực tiểu tại $x=a\in (0,1)$ (giá trị âm), đi qua $(1;0)$, đạt cực đại tại $x=b\in (1,2)$ với $0<f(b)<1$, đi qua $(2;0)$ rồi giảm xuống $-\infty$. Kiểm tra bằng ví dụ $f(x)=-(x-1)(x-2)(x-\frac{1}{2})$: thỏa mọi đặc điểm trên, và $\max f=f(b)\approx 0,26<1$.

Ta có $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(f(x)-1)\cdot f^{\prime }(x)$. Vì $f(x)\le f(b)<1$ với mọi $x$ nên $f(x)-1<0<a$, tức $f(x)-1$ luôn nằm trong miền $(-\infty ,a)$ nơi $f^{\prime }>0$. Do đó $f^{\prime }(f(x)-1)>0$ với mọi $x$, dấu của $g^{\prime }$ do dấu của $f^{\prime }(x)$ quyết định: $g^{\prime }>0$ trên $(-\infty ,a)$, $g^{\prime }<0$ trên $(a,b)$, $g^{\prime }>0$ trên $(b,\infty )$. Vậy $x=a$ là điểm cực đại duy nhất, $x=b$ là điểm cực tiểu. Hàm $g(x)$ có 1 điểm cực đại.