Cho lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$; $AB=4\text{ cm};BC=6\text{ cm}$; đường thẳng $A{A}^{\prime }$ hợp với đáy một góc $60^{\circ }$. Biết rằng tam giác $AB{B}^{\prime }$ là tam giác vuông tại $A$, tam giác $B^{\prime }BC$ là tam giác cân tại $B^{\prime }$. Thể tích của khối tứ diện $AB{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng bao nhiêu centimét khối?

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $A{A}^{\prime }=L$. Vì tam giác $AB{B}^{\prime }$ vuông tại $A$ nên $AB\perp A{B}^{\prime }$, suy ra hình chiếu của $A{A}^{\prime }$ xuống đáy vuông góc với $AB$, tức song song với $BC$. Góc giữa $A{A}^{\prime }$ và đáy bằng $60^{\circ }$ nên hình chiếu dài $L\cos 60^{\circ }=L/2$, chiều cao $h=L\sin 60^{\circ }=L\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Tam giác $B^{\prime }BC$ cân tại $B^{\prime }$: $B^{\prime }{B}^2=A{B}^2+(L/2{)}^2+h^2=16+L^2$; $B^{\prime }{C}^2=A{B}^2+(BC-L/2{)}^2+h^2=16+(6-L/2{)}^2+\frac{3L^2}{4}=L^2-6L+52$. Cho bằng nhau: $16+L^2=L^2-6L+52\Rightarrow L=6$, suy ra $h=3\sqrt{3}$, $A{B}^{\prime }=6$.
Thể tích tứ diện $AB{B}^{\prime }{C}^{\prime }$: $S_{AB{B}^{\prime }}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 6=12$. Vì $BC\perp AB$ và $BC\perp A{B}^{\prime }$ nên $BC\perp (AB{B}^{\prime })$, khoảng cách từ $C^{\prime }$ tới $(AB{B}^{\prime })$ bằng $BC=6$.
$V=\frac{1}{3}\cdot 12\cdot 6=24{\text{cm}}^3$.