Câu 17 (2,0 điểm).

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hình chóp cụt đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$ nằm trong mặt phẳng $(Oxy)$. Biết rằng $A(0;2;3)$, điểm $B$ thuộc trục $Oz$ và điểm $C$ có hoành độ dương. Tìm tọa độ điểm $C^{\prime }$ sao cho $\left|\overrightarrow{C^{\prime }A}+\overrightarrow{C^{\prime }B}+2\overrightarrow{C^{\prime }C}\right|$ đạt giá trị nhỏ nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Vì hình chóp cụt đều nên $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ là ảnh của $ABC$ qua phép vị tự tâm $S$ (đỉnh của hình chóp đều ban đầu), tỉ số $t\in (0;1)$; tâm hai đáy $G,G^{\prime }$ thẳng hàng và $G{G}^{\prime }\perp$ hai mặt đáy, với $G^{\prime }\in (Oxy)$ nên $G_z^{\prime }=0$.

Tọa độ đỉnh: $A^{\prime }=G^{\prime }+t(A-G)$. Vì $A_z^{\prime }=0$ nên $t(3-G_z)=0\Rightarrow G_z=3$. Tương tự $B_z^{\prime }=0\Rightarrow B_z=3$, và $C_z=3$. Vậy $B=(0;0;3)$, tam giác $ABC$ nằm trong mặt phẳng $(\alpha ):z=3$, đều cạnh $AB=2$. Với $C$ có hoành độ dương: $C=(\sqrt{3};1;3)$, trọng tâm $G=(\frac{\sqrt{3}}{3};1;3)$.

Đỉnh $C^{\prime }=G^{\prime }+t(C-G)=(g_1+\frac{2\sqrt{3}}{3}t;g_2;0)$. Vì $G^{\prime }=(g_1;g_2;0)$ tùy ý và $t\in (0;1)$, điểm $C^{\prime }$ có thể là điểm bất kỳ trong mặt phẳng $(Oxy)$. Đặt $C^{\prime }=(x;y;0)$:
$$\overrightarrow{C^{\prime }A}+\overrightarrow{C^{\prime }B}+2\overrightarrow{C^{\prime }C}=(-x;2-y;3)+(-x;-y;3)+2(\sqrt{3}-x;1-y;3)=(2\sqrt{3}-4x;4-4y;12).$$
Do đó
$${\left|\overrightarrow{C^{\prime }A}+\overrightarrow{C^{\prime }B}+2\overrightarrow{C^{\prime }C}\right|}^2=(2\sqrt{3}-4x{)}^2+(4-4y{)}^2+144\ge 144,$$
dấu bằng khi $x=\frac{\sqrt{3}}{2},y=1$. Khi đó giá trị nhỏ nhất bằng $12$.

Vậy $C^{\prime }=\left(\frac{\sqrt{3}}{2};1;0\right)$. (Kiểm tra: tồn tại hình chóp cụt đều tương ứng, ví dụ chọn $t=\frac{1}{2}$, $G^{\prime }=C^{\prime }-\frac{1}{2}(C-G)$, khi đó $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$ đều thuộc $(Oxy)$.)