Cho hàm số $y=m{x}^2+\left(4-m^2\right)x+n\ln x$ (với $m$, $n$ là các tham số thực). Biết rằng hàm số đã cho đạt cực đại tại điểm $x=\frac{1}{2}$ và đạt cực tiểu tại điểm $x=1$. Giá trị của $m^2+n^2$ bằng bao nhiêu?

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=2mx+(4-m^2)+\frac{n}{x}$ với $x>0$. Vì hàm số đạt cực đại tại $x=\frac{1}{2}$ và cực tiểu tại $x=1$ nên $y^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)=0$ và $y^{\prime }(1)=0$:
- $y^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)=m+4-m^2+2n=0$
- $y^{\prime }(1)=2m+4-m^2+n=0$

Trừ hai phương trình: $-m+n=0\Rightarrow n=m$. Thay vào: $3m+4-m^2=0\iff m^2-3m-4=0\iff (m-4)(m+1)=0\Rightarrow m=4$ hoặc $m=-1$ (hai nghiệm đúng là $4$ và $-1$).

Kiểm tra dấu đạo hàm bằng $y^{\prime \prime }=2m-\frac{n}{x^2}=2m-\frac{m}{x^2}$:
- Với $m=n=4$: tại $x=\frac{1}{2}$, $y^{\prime \prime }=8-16=-8<0$ (cực đại); tại $x=1$, $y^{\prime \prime }=8-4=4>0$ (cực tiểu). Thỏa mãn.
- Với $m=n=-1$: tại $x=\frac{1}{2}$, $y^{\prime \prime }=-2+4=2>0$ (cực tiểu); tại $x=1$, $y^{\prime \prime }=-2+1=-1<0$ (cực đại). Không thỏa mãn vì đảo ngược yêu cầu.

Vậy $m=n=4$, $m^2+n^2=16+16=32$.