Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ $\vec{a}=(5;1),\vec{b}=(m-6;2m)$. Tìm giá trị nguyên của tham số $m$ để vectơ $\vec{a}$ tạo với vectơ $\vec{b}$ một góc $135^0$.

(AI giải đề cho tôi)
Góc giữa hai vectơ bằng $135^0$ nên $\cos (\vec{a},\vec{b})=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, tức $\frac{(\vec{a}\cdot \vec{b}{)}^2}{|\vec{a}{|}^2|\vec{b}{|}^2}=\frac{1}{2}$ với $\vec{a}\cdot \vec{b}<0$. Ta có $\vec{a}\cdot \vec{b}=5(m-6)+2m=7m-30$, $|\vec{a}{|}^2=26$, $|\vec{b}{|}^2=(m-6{)}^2+4m^2=5m^2-12m+36$. Phương trình: $2(7m-30{)}^2=26(5m^2-12m+36)\iff 98m^2-420m+900=65m^2-156m+468$... kiểm tra lại: nhân $26\cdot \frac{1}{2}=13$ nên $(7m-30{)}^2=13(5m^2-12m+36)\iff 49m^2-420m+900=65m^2-156m+468\iff 16m^2+264m-432=0\iff m^2+16.5m-27=0$; dùng dạng $2(7m-30{)}^2=26(\dots )$ cho $32m^2+528m-864=0\iff 2m^2+33m-54=0\iff m=\frac{-33\pm 39}{4}$, tức $m=\frac{3}{2}$ hoặc $m=-18$. Với $m=-18$: $\vec{a}\cdot \vec{b}=-156<0$ (thỏa cos âm), $\vec{b}\ne \vec{0}$. Giá trị nguyên là $m=-18$.