Cho $△ABC$ vuông cân tại $A$ có $AB=a$. Gọi $E$ và $F$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $AB$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục $A(0;0),B(a;0),C(0;a)$ (vuông cân tại $A$, $AB=a$). Khi đó $E(0;\frac{a}{2})$, $F(\frac{a}{2};0)$. a) $\overrightarrow{BC}=(-a;a)$, $\overrightarrow{EF}=(\frac{a}{2};-\frac{a}{2})$, nên $\overrightarrow{BC}=-2\overrightarrow{EF}\ne \frac{1}{2}\overrightarrow{EF}$ → Sai. b) $BE\perp BF$ với $BF=\frac{a}{2}$, khoảng cách từ $E$ đến $AB$ là $\frac{a}{2}$, nên $S_{BEF}=\frac{1}{2}\cdot \frac{a}{2}\cdot \frac{a}{2}=\frac{a^2}{8}$ → Đúng. c) $\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}=(\frac{a}{2};2a)$, độ dài $=a\sqrt{\frac{1}{4}+4}=\frac{a\sqrt{17}}{2}\ne \frac{a\sqrt{5}}{2}$ → Sai. d) $\overrightarrow{BE}=(-a;\frac{a}{2})$, $\overrightarrow{CF}=(\frac{a}{2};-\frac{a}{2})$, tích vô hướng $=-\frac{a^2}{2}-\frac{a^2}{4}=-\frac{3a^2}{4}$; $|\overrightarrow{BE}|=\frac{a\sqrt{5}}{2}$, $|\overrightarrow{CF}|=\frac{a\sqrt{2}}{2}$, nên $\cos =\frac{-3a^2/4}{a^2\sqrt{10}/4}=-\frac{3}{\sqrt{10}}\ne -\frac{1}{\sqrt{5}}$ → Sai. Kết quả khớp đáp án mã đề 002: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BC}=(-a;a)$ còn $\frac{1}{2}\overrightarrow{EF}=(\frac{a}{4};-\frac{a}{4})$; thực tế $\overrightarrow{BC}=-2\overrightarrow{EF}$, nên khẳng định Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$BF=\frac{a}{2}$, đường cao từ $E$ xuống $AB$ bằng $\frac{a}{2}$, góc $B$ vuông nên $S_{BEF}=\frac{1}{2}\cdot \frac{a}{2}\cdot \frac{a}{2}=\frac{a^2}{8}$: Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Véc-tơ $\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}=(\frac{a}{2};2a)$ có độ dài $\frac{a\sqrt{17}}{2}\ne \frac{a\sqrt{5}}{2}$: Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BE}\cdot \overrightarrow{CF}=-\frac{3a^2}{4}$, $|\overrightarrow{BE}|=\frac{a\sqrt{5}}{2}$, $|\overrightarrow{CF}|=\frac{a\sqrt{2}}{2}$, nên $\cos =-\frac{3}{\sqrt{10}}\ne -\frac{1}{\sqrt{5}}$: Sai.