Cho tam giác $ABC$, lấy $M$ là điểm thuộc cạnh $BC$ sao cho $3MB=4MC$. Khi đó $\overrightarrow{AM}=\frac{a}{c}\overrightarrow{AB}+\frac{b}{c}\overrightarrow{AC}$ với $\frac{a}{c},\frac{b}{c}$ là các phân số tối giản. Tính giá trị biểu thức $T=a^2-b^2+c^2$?

(AI giải đề cho tôi)
Vì $3MB=4MC$ và $M$ thuộc đoạn $BC$ nên $\frac{MB}{MC}=\frac{4}{3}$, tức $M$ chia $BC$ theo tỉ số $k=\frac{MB}{MC}=\frac{4}{3}$. Công thức trung điểm tỉ số: $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{1+k}\overrightarrow{AB}+\frac{k}{1+k}\overrightarrow{AC}=\frac{3}{7}\overrightarrow{AB}+\frac{4}{7}\overrightarrow{AC}$. Kiểm tra: $\overrightarrow{AM}=\frac{3\overrightarrow{AB}+4\overrightarrow{AC}}{7}$, khi $M=B$ ($k=0$) hệ số $\overrightarrow{AB}$ bằng 1 — đúng. Vậy $a=3,b=4,c=7$ (phân số tối giản). $T=a^2-b^2+c^2=9-16+49=42$, khớp đáp án nguồn.