Cho tam giác $△ABC$ đều cạnh bằng 1, trọng tâm $G$. Tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MC}\cdot \overrightarrow{MA}=\frac{1}{4}$ là đường tròn có bán kính bằng bao nhiêu?

(AI giải đề cho tôi)
Chọn $G$ làm gốc tọa độ. Với mỗi cặp: $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=M{G}^2+\overrightarrow{MG}\cdot (\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB})+\overrightarrow{GA}\cdot \overrightarrow{GB}$. Cộng ba tích, do $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$ nên các số hạng chứa $\overrightarrow{MG}$ triệt tiêu, được $3M{G}^2+\left(\overrightarrow{GA}\cdot \overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GB}\cdot \overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GC}\cdot \overrightarrow{GA}\right)$. Tam giác đều cạnh 1 nên $GA=GB=GC=\frac{1}{\sqrt{3}}$, góc giữa hai vectơ này bằng $120^{\circ }$, mỗi tích bằng $\frac{1}{3}\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{6}$, tổng ba tích bằng $-\frac{1}{2}$. Phương trình: $3M{G}^2-\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\Rightarrow M{G}^2=\frac{1}{4}\Rightarrow MG=\frac{1}{2}$. Vậy tập hợp $M$ là đường tròn tâm $G$ bán kính $0,5$, khớp đáp án nguồn (mã đề 002, Câu 6 Phần III: 0,5).