Cho dãy số $(u_n)$ biết $u_n=\frac{an+2}{n+1}$ với $a$ là số thực. Tìm $a$ để dãy số $(u_n)$ là dãy số tăng.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_n=\frac{an+2}{n+1}$. Xét hiệu $u_{n+1}-u_n=\frac{a(n+1)+2}{n+2}-\frac{an+2}{n+1}=\frac{(an+a+2)(n+1)-(an+2)(n+2)}{(n+1)(n+2)}$. Khai triển: $(an+a+2)(n+1)=a{n}^2+2an+2n+a+2$ và $(an+2)(n+2)=a{n}^2+2an+2n+4$, nên tử số bằng $a-2$. Vậy $u_{n+1}-u_n=\frac{a-2}{(n+1)(n+2)}$. Vì $(n+1)(n+2)>0$ với mọi $n\ge 1$, dãy số tăng khi và chỉ khi $u_{n+1}-u_n>0$, tức là $a-2>0\iff a>2$. Kết luận: $a>2$.