Cho dãy số $(u_n)$ xác định như sau: $\{\begin{array}{l}{u}_1=2\\ u_n=\frac{-9u_{n-1}-24}{5u_{n-1}+13}\end{array}$ $(n\in \mathbb{N},n\ge 2)$. Tìm $\lim u_n$.

(AI giải đề cho tôi)
Giả sử dãy hội tụ, gọi $\lim u_n=L$. Phương trình truy hồi cho $L=\frac{-9L-24}{5L+13}\Rightarrow 5L^2+13L=-9L-24\Rightarrow 5L^2+22L+24=0\Rightarrow L=\frac{-22\pm 2}{10}$, tức $L=-2$ hoặc $L=-\frac{12}{5}$. Kiểm tra hội tụ: $u_1=2$, $u_2=\frac{-42}{23}\approx -1,826$, $u_3\approx -1,955$, ... dãy tiến dần về $-2$ (điểm bất động hấp dẫn; $|f^{\prime }(x)|=\frac{17}{(5x+13{)}^2}<1$ quanh $x=-2$). Vậy $\lim u_n=-2$, khớp đáp án nguồn.