Cho hai khối trụ có bán kính đáy bằng 3 và có trục là hai đường thẳng cắt nhau và vuông góc với nhau (xem hình bên). Gọi $(H)$ là phần giao nhau của hai khối trụ đó. Tính thể tích của $(H)$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai trục vuông góc cắt nhau, bán kính r=3: khối giao là hình Steinmetz. Thiết diện vuông góc với một trục tại vị trí có khoảng cách x từ trục đó là hình vuông cạnh $2\sqrt{r^2-x^2}$ (vì mỗi trụ cắt mặt phẳng đó thành dải rộng $2\sqrt{r^2-x^2}$ theo hai phương vuông góc). Vậy $V={\int }_{-r}^r(2\sqrt{r^2-x^2}{)}^{2}dx=4{\int }_{-r}^r(r^2-x^2)dx=4{\left[r^{2}x-\frac{x^3}{3}\right]}_{-r}^r=\frac{16r^3}{3}$. Với $r=3$: $V=\frac{16\cdot 27}{3}=144$.