Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Tổng $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SD}$ bằng

Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\frac{x^2-2x}{x+1}$ có phương trình là

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;-2;3)$ và $B(3;1;1)$. Đường thẳng $AB$ có phương trình là

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, $SA\perp (ABCD)$ và $SD=\sqrt{3}a$. Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng

Giả sử nhiệt độ $T{}^{\circ }\mathrm{C}$ của một loại đồ uống được xác định theo công thức:

$$T=22+50{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{8}t},t\ge 0$$

trong đó $t$(phút) là khoảng thời gian tính từ lúc pha chế đồ uống đó xong. Hỏi sau bao lâu kể từ lúc pha chế xong thì nhiệt độ của đồ uống đó là $40^{\circ }$C? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)={\sin }^{2}x$ là

Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu $(C):x^2+y^2+z^2-4x+4y-2z+5=0$ có bán kính bằng

Có hai phác đồ điều trị A và B cho một loại bệnh. Phác đồ A có xác suất chữa khỏi bệnh là $60\%$ và xác suất gây tác dụng phụ nghiêm trọng là $5\%$. Phác đồ B có xác suất chữa khỏi bệnh là $70\%$ và xác suất gây tác dụng phụ nghiêm trọng là $10\%$. Một bệnh nhân được điều trị ngẫu nhiên bằng một trong hai phác đồ (xác suất chọn mỗi phác đồ là $50\%$).

Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Một công ty thiết kế mẫu huy hiệu để tặng cho khách hàng thân thiết của mình (xem hình bên). Trong đó $ABCD$ là hình vuông có cạnh bằng 4 cm, các đường cong $AOD$ và $BOC$ là một phần của các parabol đỉnh $O$. Với hệ trục tọa độ $Oxy$ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là centimét) thì điểm $A$ có tung độ bằng 1. Biết phần tô đậm trong hình vẽ được phủ vàng với chi phí 1 triệu đồng/1cm², phần còn lại được phủ bạc với chi phí 300 nghìn đồng/1cm², các chi phí còn lại là 500 nghìn đồng.

Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A(1;1;0)$, $B(5;-3;2)$ và $C(0;4;-1)$. Xét các điểm $M$ thay đổi trong không gian sao cho diện tích tam giác $ABM$ bằng $6\sqrt{2}$.

Một nhà máy có hai phân xưởng I và II tương ứng làm ra 40% và 60% sản phẩm của nhà máy. Biết rằng tỉ lệ phế phẩm của hai phân xưởng I và II tương ứng là 1% và 2%. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm của nhà máy thì thấy nó là phế phẩm. Tính xác suất để sản phẩm đó thuộc phân xưởng I.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh 3, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết số đo của góc nhị diện $[B,SC,D]$ bằng $120°$. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$.

Giả sử chi phí đặt hàng và vận chuyển $C$ (đơn vị: triệu đồng) của một linh kiện được sử dụng trong sản xuất một sản phẩm được xác định theo công thức

$$C=\frac{19200000}{x^2}+\frac{27x}{x+3000},x\ge 1.$$

trong đó $x$ là số linh kiện được đặt hàng và vận chuyển. Tìm $x$ để chi phí đặt hàng và vận chuyển cho mỗi linh kiện trên là nhỏ nhất.

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(1;-1;2)$, đường thẳng $d:\frac{x+1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{1}$ và mặt phẳng $(P):x+y-2z+5=0$. Xét đường thẳng $\Delta$ cắt $d$ và $(P)$ tại hai điểm $M,N$ sao cho $A$ là trung điểm của $MN$. Biết vectơ $\vec{u}=(1;a;b)$ là một vectơ chỉ phương của $\Delta$. Tính $a+b$.

Một chiếc thang dài 9 mét tựa vào một bức tường thẳng đứng trên một mặt đất bằng phẳng. Khi đầu dưới của thang di chuyển (trên mặt đất) ra xa bức tường với vận tốc không đổi là 2 (m/s) thì đầu trên cùng của thang sẽ trượt xuống dọc theo bức tường. Khi điểm đầu thang cách mặt đất 3 mét thì tốc độ di chuyển của nó bằng bao nhiêu? (đơn vị: (m/s) và kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Cho hai khối trụ có bán kính đáy bằng 3 và có trục là hai đường thẳng cắt nhau và vuông góc với nhau (xem hình bên). Gọi $(H)$ là phần giao nhau của hai khối trụ đó. Tính thể tích của $(H)$.