Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A(1;1;0)$, $B(5;-3;2)$ và $C(0;4;-1)$. Xét các điểm $M$ thay đổi trong không gian sao cho diện tích tam giác $ABM$ bằng $6\sqrt{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(4;-4;2)$ nên $AB=\sqrt{16+16+4}=6\ne 3$ → a) sai. VTCP $\vec{u}=(2;-2;1)$, đường thẳng qua $A(1;1;0)$: $\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z}{1}$ → b) đúng. $\overrightarrow{AC}=(-1;3;-1)$, $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(-2;2;8)$, $|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}|=\sqrt{72}=6\sqrt{2}$, $d(C,AB)=\frac{6\sqrt{2}}{6}=\sqrt{2}\ne 2\sqrt{2}$ → c) sai. Diện tích $ABM=6\sqrt{2}$ suy ra $d(M,AB)=\frac{2\cdot 6\sqrt{2}}{6}=2\sqrt{2}$, tức $M$ nằm trên mặt trụ trục $AB$ bán kính $2\sqrt{2}$. Vì $C$ cách trục $\sqrt{2}$ nên $M{C}_{\min }=2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}$ → d) đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$AB=\sqrt{4^2+(-4{)}^2+2^2}=6\ne 3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(4;-4;2)\parallel (2;-2;1)$, đi qua $A(1;1;0)$ nên phương trình đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$d(C,AB)=\frac{|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}|}{AB}=\frac{6\sqrt{2}}{6}=\sqrt{2}\ne 2\sqrt{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S_{ABM}=6\sqrt{2}\Rightarrow d(M,AB)=2\sqrt{2}$; $C$ cách trục $AB$ đúng $\sqrt{2}$ nên $M{C}_{\min }=2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}$.