Cho hàm số $f(x)=\frac{1}{3}{x}^3+m{x}^2-mx-1$, $m\in \mathbb{R}$.

a) Tìm $m$ để hàm số $f(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

b) Có bao nhiêu số nguyên $m$ để hàm số $f(x)$ có hai điểm cực trị $x_1,x_2$ thỏa mãn $|x_1-x_2|\le 10$?

(AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=x^2+2mx-m$.

a) Hàm bậc ba đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi $f^{\prime }(x)\ge 0$ với mọi $x$, tức ${\Delta }^{\prime }=m^2+m\le 0\iff -1\le m\le 0$. Vậy $m\in [-1;0]$.

b) Hàm số có hai điểm cực trị khi ${\Delta }^{\prime }>0\iff m^2+m>0\iff m<-1$ hoặc $m>0$. Khi đó $x_1,x_2$ là nghiệm của $f^{\prime }(x)=0$ với tổng $x_1+x_2=-2m$, tích $x_1{x}_2=-m$, nên
$$|x_1-x_2{|}^2=(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2=4m^2+4m.$$
Yêu cầu $|x_1-x_2|\le 10$ cho $4m^2+4m\le 100\iff m^2+m-25\le 0\iff \frac{-1-\sqrt{101}}{2}\le m\le \frac{-1+\sqrt{101}}{2}$, tức $-5,52\dots \le m\le 4,52\dots$

Kết hợp điều kiện $m<-1$ hoặc $m>0$: các số nguyên $m$ là $-5,-4,-3,-2$ và $1,2,3,4$, tổng cộng $8$ giá trị.