Cho hàm số $f(x)$ xác định và có đạo hàm trên $\mathbb{R}$. Biết đạo hàm $f^{\prime }(x)$ là một hàm bậc ba và có đồ thị như hình bên.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, $f^{\prime }(x)$ là hàm bậc ba dạng $f^{\prime }(x)=x^3-3x$ (cực đại $(-1;2)$, cực tiểu $(1;-2)$, đi qua gốc tọa độ). a) Hàm bậc ba không chặn trên/dưới nên tập giá trị là $\mathbb{R}$ → đúng. b) $f^{\prime }(x)=x(x^2-3)$: trên $(-1;0)$ thì $f^{\prime }>0$, trên $(0;1)$ thì $f^{\prime }<0$, nên $f$ không nghịch biến trên toàn khoảng $(-1;1)$ → sai. c) $f^{\prime }(x)=0\iff x=0,\pm \sqrt{3}$; xét dấu: $f^{\prime }<0$ trên $(-\infty ;-\sqrt{3})$, $f^{\prime }>0$ trên $(-\sqrt{3};0)$, $f^{\prime }<0$ trên $(0;\sqrt{3})$, $f^{\prime }>0$ trên $(\sqrt{3};+\infty )$. Vậy $f$ có một điểm cực đại tại $x=0$ và hai điểm cực tiểu tại $x=\pm \sqrt{3}$ → sai. d) $f(1)=f(0)+{\int }_0^1(x^3-3x)dx=4+\left(\frac{1}{4}-\frac{3}{2}\right)=4-\frac{5}{4}=\frac{11}{4}\ne 3$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm bậc ba đi lên vô hạn và xuống vô hạn nên tập giá trị của $f^{\prime }(x)$ là $\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $f^{\prime }(x)=x^3-3x$, ta có $f^{\prime }>0$ trên $(-1;0)$ và $f^{\prime }<0$ trên $(0;1)$, nên $f$ không nghịch biến trên toàn khoảng $(-1;1)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }$ đổi dấu tại $x=-\sqrt{3}$ (− sang +: cực tiểu), $x=0$ (+ sang −: cực đại), $x=\sqrt{3}$ (− sang +: cực tiểu). Vậy $f$ có một điểm cực đại và hai điểm cực tiểu.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f(1)=f(0)+{\int }_0^1(x^3-3x)dx=4-\frac{5}{4}=\frac{11}{4}\ne 3$.