Phương trình ${\log }_{2}x=0$ có nghiệm là

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như hình bên.

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Phát biểu nào sau đây là đúng?

Cho hàm số $f(x)=x^3+m{x}^2+3x+4$, $m\in \mathbb{R}$. Hàm số $f(x)$ có hai điểm cực trị khi và chỉ khi tham số $m$ thỏa mãn

Hàm số $f(x)=x^2+\sin x$ có họ nguyên hàm là

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, phương trình của mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M(-1;3;-5)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;-6;8)$ là

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt cầu có bán kính bằng 5?

Cho hàm số $f(x)$ xác định và có đạo hàm trên $\mathbb{R}$. Biết đạo hàm $f^{\prime }(x)$ là một hàm bậc ba và có đồ thị như hình bên.

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình bên dưới. Gọi $H_1$ là hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, trục hoành, đường thẳng $x=-1$ và đường thẳng $x=2$; $H_2$ là hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, trục hoành và các đường thẳng $x=-2$, $x=-1$. Ký hiệu diện tích của các hình phẳng $H_1$ và $H_2$ tương ứng là $S_1$ và $S_2$.

Bảng sau thể hiện mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian dùng mạng xã hội trong một ngày của 100 người có độ tuổi từ 18 đến 25 (đơn vị là phút).

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A(1;-2;5)$ và đường thẳng
$$d:\frac{x-1}{3}=\frac{y}{-2}=\frac{z+4}{2}$$

Sân chơi của một cụm dân cư có dạng hình chữ nhật với chiều dài 118 m, chiều rộng 46 m và hai trục đối xứng $d_1$, $d_2$ như hình vẽ bên. Người ta muốn trồng hoa ở hai đầu sân chơi đó, phần còn lại lát gạch. Khu trồng hoa (được tô đậm) gồm hai mảnh đối xứng nhau qua $d_1$, phần biên cong của mỗi mảnh là một phần của parabol nhận $d_2$ là trục đối xứng. Biết hai đỉnh của hai parabol cách nhau 40 m; giá trồng hoa là 25000 đồng/m${}^2$ và giá lát gạch gấp 5 lần giá trồng hoa.


a) Tính diện tích khu trồng hoa.

b) Tính tổng số tiền cần chi để hoàn thành việc trồng hoa và lát gạch cho sân chơi đó.

Giả sử hệ thống lọc thư điện tử (email) rác hoạt động dựa trên sự xuất hiện của các từ khóa nhất định. Hệ thống đang xem xét lọc email rác dựa trên từ khóa là cụm từ “ưu đãi”. Biết rằng trong tất cả các email nhận được, 30% là email rác; trong các email rác có 80% email chứa cụm từ “ưu đãi”; trong các email không phải email rác có 5% email chứa cụm từ “ưu đãi”. Kiểm tra ngẫu nhiên một email trong số các email đã nhận được.

a) Tính xác suất để email đó là email rác và chứa cụm từ “ưu đãi”.

b) Biết email đó có chứa cụm từ “ưu đãi”, tính xác suất để email đó là email rác.

Một khu du lịch sinh thái thực hiện bán vé vào cổng với các mức giá khác nhau. Qua thực tiễn, bộ phận kinh doanh của khu du lịch nhận thấy rằng: nếu bán vé với mức giá 80000 đồng/vé thì trung bình mỗi ngày bán được 300 vé và cứ giảm giá 5000 đồng/vé thì số vé trung bình mỗi ngày bán được lại tăng thêm 50 vé.

a) Nếu bán với giá 70000 đồng/vé thì trung bình mỗi ngày khu du lịch thu được bao nhiêu tiền từ bán vé?

b) Để số tiền trung bình mỗi ngày thu được từ bán vé là cao nhất, khu du lịch nên bán vé với giá bao nhiêu?

Một vật chuyển động trong 6 giờ với vận tốc $v(t)$, đơn vị là ki-lô-mét/giờ, là một hàm số phụ thuộc vào thời gian $t$ được tính bằng giờ. Đồ thị của hàm vận tốc $v(t)$ được biểu diễn như hình bên (trong 2 giờ đầu tiên đồ thị là đoạn thẳng, trong 2 giờ tiếp theo đồ thị là một phần của parabol và trong khoảng thời gian còn lại đồ thị là đoạn thẳng).


a) Xác định vận tốc tại thời điểm $t=3,5$ giờ.

b) Tính quãng đường vật đi được trong thời gian 6 giờ nói trên.

Cho hình chóp $S.ABCD$ với đáy $ABCD$ là hình vuông. Gọi $O$ là tâm của đáy, biết rằng $SO$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$, $SO=4$ và khoảng cách từ $O$ tới mặt phẳng $(SBC)$ bằng $2,4$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ và kẻ $OH$ vuông góc với $SM$ tại $H$. Đường thẳng đi qua $H$ và song song với $OM$ cắt $OS$ tại điểm $P$.

a) Tính độ dài cạnh hình vuông $ABCD$.

b) Tính thể tích của khối chóp $P.ABMO$.

Cho hàm số $f(x)=\frac{1}{3}{x}^3+m{x}^2-mx-1$, $m\in \mathbb{R}$.

a) Tìm $m$ để hàm số $f(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

b) Có bao nhiêu số nguyên $m$ để hàm số $f(x)$ có hai điểm cực trị $x_1,x_2$ thỏa mãn $|x_1-x_2|\le 10$?