Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Hàm $f^{\prime }(x)$ có đồ thị như hình vẽ.

Các mệnh đề sau đúng hay sai?

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, $f^{\prime }(x)$ đi qua các điểm $(-1;-2),(0;1),(1;0),(2;1)$, suy ra $f^{\prime }(x)=x^3-2x^2+1$. Nghiệm: $x=1$ và $x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}\approx -0,618$ và $1,618$.
a) Trên $[-1;2]$: $f$ giảm trên $[-1;-0,618]$, tăng trên $[-0,618;1,618]$, giảm trên $[1,618;2]$. GTLN đạt tại $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$. Ta có $F(x)=\frac{x^4}{4}-\frac{2x^3}{3}+x$ (nguyên hàm của $f^{\prime }$), $f\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)-f(-1)=F(1,618)-F(-1)\approx 0,51-(-0,08)=0,59>0$ nên max tại $x\approx 1,618$, không phải giá trị 1 (không có cơ sở để max bằng 1). Mệnh đề SAI.
b) Trên $(-\infty ;-1)$, $f^{\prime }(x)<0$ (vì $f^{\prime }(-1)=-2<0$ và nghiệm gần nhất là $-0,618$), nên $f$ nghịch biến. Mệnh đề SAI.
c) $f^{\prime }(0)=1\ne 0$ và $f^{\prime }$ không đổi dấu qua $x=0$, nên $f$ không đạt cực đại tại $x=0$. Mệnh đề SAI.
d) $f(1)-f(0)={\int }_0^1{f}^{\prime }(x)dx=F(1)-F(0)=\frac{1}{4}-\frac{2}{3}+1=\frac{7}{12}>0$, nên $f(0)<f(1)$. Mệnh đề ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên [-1;2], f giảm trên [-1;(1-√5)/2], tăng trên [(1-√5)/2;(1+√5)/2], giảm trên [(1+√5)/2;2]. GTLN đạt tại x=(1+√5)/2 với f((1+√5)/2)-f(-1)=F(1,618)-F(-1)≈0,59>0, không phải bằng 1.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với x<-1 thì f'(x)<0 (f'(-1)=-2, nghiệm gần nhất x≈-0,618), nên f nghịch biến trên (-∞;-1).
c) (AI giải đề cho tôi)
f'(0)=1≠0 nên f không đạt cực đại tại x=0.
d) (AI giải đề cho tôi)
f(1)-f(0)=∫₀¹f'(x)dx=F(1)-F(0)=1/4-2/3+1=7/12>0, vậy f(0)<f(1).