Đường cao tốc mới xây nối hai thành phố A và B, hai thành phố này muốn xây một trạm thu phí và trạm xăng ở trên đường cao tốc như hình vẽ. Để tiết kiệm chi phí đi lại, hai thành phố quyết định tính toán xem xây trạm thu phí ở vị trí nào để tổng khoảng cách từ hai trung tâm thành phố đến trạm là ngắn nhất, biết khoảng cách từ trung tâm thành phố A, B đến đường cao tốc lần lượt là và và khoảng cách giữa hai trung tâm thành phố là (được tính theo khoảng cách của hình chiếu vuông góc của hai trung tâm thành phố lên đường cao tốc, tức là kí hiệu như hình vẽ). Tìm vị trí của trạm thu phí và trạm xăng? Giả sử chiều rộng của trạm thu phí không đáng kể.
Đường cao tốc mới xây nối hai thành phố A và B, hai thành phố này muốn xây một trạm thu phí và trạm xăng ở trên đường cao tốc như hình vẽ. Để tiết kiệm chi phí đi lại, hai thành phố quyết định tính toán xem xây trạm thu phí ở vị trí nào để tổng khoảng cách từ hai trung tâm thành phố đến trạm là ngắn nhất, biết khoảng cách từ trung tâm thành phố A, B đến đường cao tốc lần lượt là và và khoảng cách giữa hai trung tâm thành phố là (được tính theo khoảng cách của hình chiếu vuông góc của hai trung tâm thành phố lên đường cao tốc, tức là kí hiệu như hình vẽ). Tìm vị trí của trạm thu phí và trạm xăng? Giả sử chiều rộng của trạm thu phí không đáng kể.
Đáp án chính thức: 72
Hướng dẫn giải chi tiết
(AI giải đề cho tôi)
Gọi C là vị trí trạm trên đường cao tốc, (km), , khi đó . Tổng khoảng cách cần nhỏ nhất là Ta có . Bình phương hai vế (các vế dương): Xét dấu : với thì , với thì , nên đạt nhỏ nhất tại , giá trị nhỏ nhất km. Vậy trạm thu phí (và trạm xăng cùng đặt tại đó, vì chỉ có một điểm C tối ưu trên đoạn PQ) phải đặt tại vị trí cách hình chiếu P của thành phố A một khoảng km (tức cách Q một khoảng km).
Gọi C là vị trí trạm trên đường cao tốc, (km), , khi đó . Tổng khoảng cách cần nhỏ nhất là Ta có . Bình phương hai vế (các vế dương): Xét dấu : với thì , với thì , nên đạt nhỏ nhất tại , giá trị nhỏ nhất km. Vậy trạm thu phí (và trạm xăng cùng đặt tại đó, vì chỉ có một điểm C tối ưu trên đoạn PQ) phải đặt tại vị trí cách hình chiếu P của thành phố A một khoảng km (tức cách Q một khoảng km).