Cho hàm số $f(x)=\frac{x-1}{x+2}$ có tập xác định là $D$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=\frac{x-1}{x+2}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-2\}$.
a) $f(2)=\frac{2-1}{2+2}=\frac{1}{4}$ → Đúng.
b) $f^{\prime }(x)=\frac{(x+2)-(x-1)}{(x+2{)}^2}=\frac{3}{(x+2{)}^2}$, không phải $\frac{-3}{(x+2{)}^2}$ → Sai.
c) Trên $[2;3]$, $f^{\prime }(x)>0$ nên hàm đồng biến; GTLN $=f(3)=\frac{2}{5}$, GTNN $=f(2)=\frac{1}{4}$; tổng $=\frac{2}{5}+\frac{1}{4}=\frac{13}{20}$ → Đúng.
d) Hàm nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty ;-2)$ và $(-2;+\infty )$ (vì $f^{\prime }(x)=\frac{3}{(x+2{)}^2}>0$... thực tế $f$ đồng biến trên từng khoảng nhưng không đơn điệu trên toàn $D$ do có tiệm cận đứng $x=-2$; ví dụ $x_1=-3,x_2=0$: $f(-3)=4>\frac{1}{2}=f(0)$) → Sai.
Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 0101 câu 15: DSDS.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f(2)=\frac{2-1}{2+2}=\frac{1}{4}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\frac{(x+2)-(x-1)}{(x+2{)}^2}=\frac{3}{(x+2{)}^2}\ne \frac{-3}{(x+2{)}^2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[2;3]$ hàm đồng biến: GTNN $=f(2)=\frac{1}{4}$, GTLN $=f(3)=\frac{2}{5}$, tổng $=\frac{13}{20}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f$ không đơn điệu trên toàn $D$ do gián đoạn tại $x=-2$; ví dụ $x_1=-3<x_2=0$ nhưng $f(-3)=4>\frac{1}{2}=f(0)$.