Người ta cần thiết kế một thùng rác cỡ lớn có hình dạng hình chóp cụt tứ giác đều $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ như hình vẽ.

Quy định đưa ra là tổng diện tích của hai đáy bằng $60{\mathrm{m}}^2$ và đường chéo $A{C}^{\prime }=9\mathrm{m}$. Thể tích lớn nhất của thùng rác là bao nhiêu mét khối? (Làm tròn đến hàng đơn vị).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cạnh hai đáy là $a,b$ ($a\ge b>0$), chiều cao $h$. Tổng diện tích hai đáy: $a^2+b^2=60$. Đặt tâm hai đáy thẳng hàng theo phương vuông góc; vectơ $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ có thành phần ngang bằng $\frac{(a+b)\sqrt{2}}{2}$ (từ nửa đường chéo đáy nhỏ đến nửa đường chéo đáy lớn) và thành phần đứng $h$, nên $A{C}^{\prime 2}=h^2+\frac{(a+b{)}^2}{2}=81$, suy ra $h^2=81-\frac{(a+b{)}^2}{2}$.

Thể tích: $V=\frac{h}{3}(a^2+ab+b^2)$. Đặt $x=a^2+ab+b^2=60+ab$, khi đó $(a+b{)}^2=a^2+b^2+2ab=60+2ab=2x-60$, nên $h^2=81-\frac{2x-60}{2}=111-x$.

Miền xác định: $ab\le \frac{a^2+b^2}{2}=30$ (đẳng thức khi $a=b$), nên $x\in [60,90]$.

Xét $f(x)=V^2=\frac{x^2(111-x)}{9}$. Có $f^{\prime }(x)=\frac{x(222-3x)}{9}$, cho $x=74\in [60;90]$. Tại đó $h^2=111-74=37$, $h=\sqrt{37}$.

$V_{\max }=\frac{74\sqrt{37}}{3}\approx \frac{74\cdot 6.08276}{3}\approx 150.04$ m³.

Vậy thể tích lớn nhất của thùng rác khoảng $150$ m³ (khớp với đáp án nguồn 150).