Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm I và II. Một hộp sản phẩm loại I cần 2 kg nguyên liệu, 30 giờ làm việc và lợi nhuận đem lại là 4 triệu đồng. Một hộp sản phẩm loại II cần 6 kg nguyên liệu, 15 giờ làm việc và lợi nhuận đem lại là 3 triệu đồng. Xưởng có 48 kg nguyên liệu và 255 giờ làm việc của nhân công. Hỏi lợi nhuận tối đa mà xưởng sản xuất có thể nhận được là bao nhiêu triệu đồng?

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ lần lượt là số hộp sản phẩm loại I và II ($x,y\in \mathbb{N}$). Ràng buộc: $2x+6y\le 48\iff x+3y\le 24$; $30x+15y\le 255\iff 2x+y\le 17$; $x,y\ge 0$. Hàm lợi nhuận $P=4x+3y$ (triệu đồng).

Nếu xét liên tục, đỉnh giao của $x+3y=24$ và $2x+y=17$ là $x=5,4$, $y=6,2$ cho $P=40,2$, nhưng số hộp sản phẩm phải là số nguyên nên phải tìm nghiệm nguyên.

Thử các điểm nguyên trong miền: $(6;5)$: nguyên liệu $12+30=42\le 48$, giờ làm $180+75=255\le 255$, $P=24+15=39$. Các điểm lân cận: $(5;6)$ cho $P=38$; $(7;3)$ cho $P=37$; $(8;0)$ cho $P=32$; $(0;8)$ cho $P=24$. Kiểm tra trên các cạnh của miền ràng buộc, giá trị lớn nhất đạt được tại $(6;5)$ với $P=39$ triệu đồng.

Kết quả khớp với đáp án nguồn (39).