Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ thỏa mãn $f(x)=\frac{x^2+5x-7}{x}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{x^2+5x-7}{x}=x+5-\frac{7}{x}$ với $x\ne 0$.

a) Đề phát biểu $f(x)=x+5x-\frac{7}{x}=6x-\frac{7}{x}$, sai vì phải là $x+5-\frac{7}{x}$ (hạng tử $5$ là hằng số, không phải $5x$).

b) $\int f(x)dx=\int \left(x+5-\frac{7}{x}\right)dx=\frac{x^2}{2}+5x-7\ln |x|+C$. Đúng.

c) $F(x)=\frac{x^2}{2}+5x-7\ln |x|+C$; $F(1)=\frac{1}{2}+5+C=5\Rightarrow C=\frac{1}{2}$. Vậy $F(x)=\frac{x^2}{2}+5x-7\ln |x|+\frac{1}{2}$. Đúng.

d) Trên $(0;+\infty )$: $G(x)=\frac{x^2}{2}+5x-7\ln x+C_1$; $G(1)=\frac{1}{2}+5+C_1=4\Rightarrow C_1=-\frac{3}{2}$, nên $G(3)=\frac{9}{2}+15-7\ln 3-\frac{3}{2}=18-7\ln 3$.

Trên $(-\infty ;0)$: $G(x)=\frac{x^2}{2}+5x-7\ln |x|+C_2$, nên $G(-9)=\frac{81}{2}-45-14\ln 3+C_2=-\frac{9}{2}-14\ln 3+C_2$.

Điều kiện $G(3)+G(-9)=20$ cho $\frac{27}{2}-21\ln 3+C_2=20\Rightarrow C_2=\frac{13}{2}+21\ln 3$.

Do đó $G(-6)=18-30-7\ln 6+C_2=-12-7\ln 2-7\ln 3+\frac{13}{2}+21\ln 3=-\frac{11}{2}-7\ln 2+14\ln 3$, tức $a=-7,b=14,c=-\frac{11}{2}\Rightarrow a+b+c=-\frac{1}{2}\ne \frac{2}{3}$. (Nếu dùng chung một hằng số cho cả miền xác định thì $G(3)+G(-9)=\frac{27}{2}-21\ln 3\approx 2,93\ne 20$, dữ kiện mâu thuẫn; trong cả hai cách hiểu, khẳng định $a+b+c=\frac{2}{3}$ đều sai.) Vậy ý d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$f(x)=\frac{x^2+5x-7}{x}=x+5-\frac{7}{x}$, không phải $x+5x-\frac{7}{x}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\int \left(x+5-\frac{7}{x}\right)dx=\frac{x^2}{2}+5x-7\ln |x|+C$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$F(1)=\frac{1}{2}+5+C=5\Rightarrow C=\frac{1}{2}$, nên $F(x)=\frac{x^2}{2}+5x-7\ln |x|+\frac{1}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Trên $(0;+\infty )$: $G(x)=\frac{x^2}{2}+5x-7\ln x+C_1$; $G(1)=\frac{1}{2}+5+C_1=4\Rightarrow C_1=-\frac{3}{2}$, nên $G(3)=\frac{9}{2}+15-7\ln 3-\frac{3}{2}=18-7\ln 3$.

Trên $(-\infty ;0)$: $G(x)=\frac{x^2}{2}+5x-7\ln |x|+C_2$, nên $G(-9)=\frac{81}{2}-45-14\ln 3+C_2=-\frac{9}{2}-14\ln 3+C_2$.

$G(3)+G(-9)=\frac{27}{2}-21\ln 3+C_2=20\Rightarrow C_2=\frac{13}{2}+21\ln 3$.

Khi đó $G(-6)=18-30-7\ln 6+C_2=-12-7\ln 2-7\ln 3+\frac{13}{2}+21\ln 3=-\frac{11}{2}-7\ln 2+14\ln 3$.

Vậy $a=-7,b=14,c=-\frac{11}{2}\Rightarrow a+b+c=-\frac{1}{2}\ne \frac{2}{3}$: ý d) sai.

(Nếu yêu cầu một hằng số duy nhất cho cả miền xác định thì $G(3)+G(-9)=\frac{27}{2}-21\ln 3\approx 2,93\ne 20$, dữ kiện mâu thuẫn; trong cả hai cách hiểu, khẳng định $a+b+c=\frac{2}{3}$ đều sai.)