Cho hàm số $f(x)=1+\frac{1}{x}$ có đồ thị $(C)$ và hàm số $g(x)=-\frac{1}{4}x+\frac{9}{4}$ có đồ thị $(d)$ (xem hình bên dưới).

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: $\int \left(1+\frac{1}{x}\right)dx=x+\ln |x|+C$, không phải $x-\ln |x|+C$. b) Đúng: $F(x)=x+\ln x+C$; $F(1)=1+C=0\Rightarrow C=-1$; $F(2)=2+\ln 2-1=1+\ln 2$. c) Đúng: $(d)$ nằm trên $(C)$ trên $[1;4]$ (giao tại $x=1$, $x=4$ vì $f(1)=g(1)=2$, $f(4)=g(4)=\frac{5}{4}$). $S_1={\int }_1^4\left(-\frac{x}{4}+\frac{5}{4}-\frac{1}{x}\right)dx={\left[-\frac{x^2}{8}+\frac{5x}{4}-\ln x\right]}_1^4=\left(-2+5-\ln 4\right)-\left(-\frac{1}{8}+\frac{5}{4}\right)=\frac{15}{8}-\ln 4$. d) Sai: $S_2={\int }_1^4\left(1+\frac{1}{x}\right)dx=3+\ln 4\approx 4.386$, còn $S_1\approx 0.489$, nên $\frac{S_1}{S_2}\approx 0.112\ne \frac{5}{8}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm đúng là $x+\ln |x|+C$ (dấu cộng, không phải trừ).
b) (AI giải đề cho tôi)
$F(x)=x+\ln x-1\Rightarrow F(2)=1+\ln 2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$S_1={\int }_1^4(g-f)dx=\frac{15}{8}-\ln 4$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S_2=3+\ln 4\approx 4.386$, $S_1\approx 0.489$, tỉ số $\approx 0.112\ne 5/8$.