Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I(-1;2;2)$ và bán kính $R=3$. Hai mặt phẳng $(P)$, $(Q)$ cùng chứa đường thẳng $\Delta :\frac{x-3}{4}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-5}{3}$ và tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ lần lượt tại các điểm $A$, $B$. Đường thẳng $\Delta$ cắt mặt phẳng $(IAB)$ tại điểm $M$.
a) Tìm tọa độ điểm $M$.
b) Tính độ dài đoạn thẳng $AB$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì IA ⊥ (P), IB ⊥ (Q) mà Δ ⊂ (P), Δ ⊂ (Q) nên IA ⊥ Δ và IB ⊥ Δ, suy ra Δ ⊥ (IAB). Do I ∈ (IAB) nên M là chân đường vuông góc từ I xuống Δ. Lấy P₀(3;−2;5), u = (4;1;3), M = P₀ + tu với (M−I)·u = 0: 4(4+4t) + (−4+t) + 3(3+3t) = 21 + 26t = 0 ⇒ t = −21/26. Vậy M(−3/13; −73/26; 67/26). Kiểm tra: IM² = 625/26, IM = 25/√26 = d(I, Δ). b) Trong mặt phẳng qua I vuông góc với Δ, (P), (Q) là hai tiếp tuyến từ M đến đường tròn tâm I bán kính 3: MA = √(IM² − R²) = √(625/26 − 9) = √(391/26). Trong tam giác vuông IAM: sin∠AIM = MA/IM = √391/25, nửa dây AB = R·sin∠AIM = 3√391/25, nên AB = 6√391/25 ≈ 4,75.