Cho hình lăng trụ đứng $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy $ABCD$ là hình thoi và $A{A}^{\prime }=6$, $AB=AC=3$.
a) Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$.
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $BD$ và $A^{\prime }C$.

(AI giải đề cho tôi)
Đáy hình thoi có $AB=AC=3$ nên tam giác $ABC$ đều cạnh 3, do đó $BD=3\sqrt{3}$.

a) Lăng trụ đứng nên $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })\perp (ABCD)$, giao tuyến $BC$. Khoảng cách từ $A$ đến $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ bằng khoảng cách từ $A$ đến $BC$, tức đường cao tam giác đều cạnh 3: $d=\frac{3\sqrt{3}}{2}$.

b) Tọa độ: $A(0;0;0)$, $C(3;0;0)$, $B\left(\frac{3}{2};\frac{3\sqrt{3}}{2};0\right)$, $D\left(\frac{3}{2};-\frac{3\sqrt{3}}{2};0\right)$, $A^{\prime }(0;0;6)$.
$\overrightarrow{u_{BD}}=(0;1;0)$, $\overrightarrow{u_{A^{\prime }C}}=(1;0;-2)$, $\vec{n}=\overrightarrow{u_{BD}}\times \overrightarrow{u_{A^{\prime }C}}=(-2;0;-1)$, $|\vec{n}|=\sqrt{5}$.
$\overrightarrow{CB}=\left(-\frac{3}{2};\frac{3\sqrt{3}}{2};0\right)$, $\overrightarrow{CB}\cdot \vec{n}=3$, nên $d(BD,A^{\prime }C)=\frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$.

Kiểm tra: tích có hướng và phép chiếu đều đúng; kết quả khớp đáp số.