Cho hàm số $f(x)=2024(e^{2x}-e^{-2x})+2025\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)+2026x^3$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $f\left(\left|3x^2+m\right|\right)+f(x^3-12)=0$ có đúng một nghiệm thuộc đoạn $[-2;1]$

Đáp số: 20.

Ta có $f(-x)=2024\left(e^{-2x}-e^{2x}\right)+2025\ln \left(-x+\sqrt{x^2+1}\right)+2026(-x{)}^3$

$=-2024\left(e^{2x}-e^{-2x}\right)-2025\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)-2026x^3=-f(x)$

Suy ra $f(x)$ là hàm lẻ, lúc đó $f\left(x^3-12\right)=-f\left(12-x^3\right)$

$f^{\prime }(x)=2024\left(2e^{2x}+2e^{-2x}\right)+2025\frac{1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}}+6078x^2$

$=2024\left(2e^{2x}+2e^{-2x}\right)+\frac{2025}{\sqrt{x^2+1}}+6078x^2>0,\forall x\in \mathbb{R}$

Suy ra $f(x)$ hàm đồng biến và liên tục trên $[-2;1]$. Khi đó:

$f\left(\left|3x^2+m\right|\right)+f\left(x^3-12\right)=0\iff f\left(\left|3x^2+m\right|\right)=f\left(12-x^3\right)\iff \left|3x^2+m\right|=12-x^3\iff \left|3x^2+m\right|=\left|12-x^3\right|$

$\iff [<table><tbody><tr><td>3x^2+m=12-x^3</td></tr><tr><td>3x^2+m=x^3-12</td></tr></tbody></table>\left(do12-x^3>0,\forall x\in [-2;1]\right)\iff [<table><tbody><tr><td>m=-x^3-3x^2+12</td></tr><tr><td>m=x^3-3x^2-12</td></tr></tbody></table>$ (1) (2)

Xét hàm số $f\left(x\right)=-x^3-3x^2+12$, $g\left(x\right)=x^3-3x^2-12$ với $\forall x\in [-2;1]$

Ta có $f^{\prime }\left(x\right)=-3x^2-6x=0\iff [<table><tbody><tr><td>x=-2</td></tr><tr><td>x=0</td></tr></tbody></table>$ ; $g^{\prime }\left(x\right)=3x^2-6x=0\iff [<table><tbody><tr><td>x=2</td></tr><tr><td>x=0</td></tr></tbody></table>$





Từ BBT suy ra pt đã cho có đúng một nghiệm thuộc đoạn $[-2;1]\iff m\in [-32;-14)\cup \{\pm 12\}$

Mà $m$ nguyên nên có 20 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.