Cho hàm số $f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$ $(a,b,c\in R,c<0)$ có đồ thị là $(C)$. Gọi $A$ là giao điểm của $(C)$ với trục tung, biết $(C)$ có đúng hai điểm chung với trục hoành là $M$ và $N$. Đồng thời tiếp tuyến của $(C)$ tại $M$ đi qua $A$ và tam giác $AMN$ có diện tích bằng 16. Tính $f(1)$.

Đáp số: -3.

Vì $(C)$ có hai giao điểm với trục hoành nên $f(x)=(x-m)(x-n{)}^2$. Trong đó $M(m;0)$ và $N(n;0)$. Ta có thể viết lại $f(x)=x^3+(-m-2n)x^2+(n^2+2mn)x-m{n}^2$. $f^{\prime }(x)=3x^2+2(-m-2n)x+n^2+2mn$. $f^{\prime }(m)=(m-n{)}^2$. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ tại $M$ là $y=(m-n{)}^2(x-m)$. Giao điểm của $(C)$ với trục tung là $A(0;-m{n}^2)$.

Vì tiếp tuyến tại $M$ đi qua $A$ nên ta có $-m{n}^2=(m-n{)}^2(0-m)\iff m^2-2mn=0\iff \left[\begin{array}{c}m=0\\ m=2n\end{array}\right]$

Vì $c=-m{n}^2<0$ nên ta loại trường hợp $m=0$. Từ đó ta có $m=2n$.

Diện tích tam giác $AMN$ bằng 16 nên
$\frac{1}{2}MN\cdot AO=16\iff \frac{1}{2}|m-n|.\left|-m{n}^2\right|=16\iff |2n-n|.\left|-2n^3\right|=32\iff \left[\begin{array}{c}n=2\\ n=-2\end{array}\right]$

Vì $c=-m{n}^2<0$ nên ta loại trường hợp $n=-2$.

Với $n=2$ ta có $m=4$ và $f(x)=(x-4)(x-2{)}^2\Rightarrow f(1)=-3$.