Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên của đạo hàm như hình vẽ.



Đặt $g(x)=f\left(\frac{x^2+1}{x}\right)$. Tìm số điểm cực trị của hàm số $y=g(x)$.

Đặt $g^{\prime }(x)=\left(\frac{x^2-1}{x^2}\right)f^{\prime }\left(\frac{x^2+1}{x}\right)$ $$g^{\prime }(x)=0\iff \left[\begin{array}{c}\left(\frac{x^2-1}{x^2}\right)=0\\ f^{\prime }\left(\frac{x^2+1}{x}\right)=0\end{array}\right]\iff \left[\begin{array}{c}x=\pm 1\\ \frac{x^2+1}{x}=a(a<-2)\\ \frac{x^2+1}{x}=b(-2<b<2)\\ \frac{x^2+1}{x}=c(c>2)\end{array}\right]$$ Xét hàm số $h(x)=\frac{x^2+1}{x},h^{\prime }(x)=\frac{x^2-1}{x^2},h^{\prime }(x)=0\iff x=\pm 1$. Bảng biến thiên của hàm số $h(x)=\frac{x^2+1}{x}$:

Dựa vào bảng biến thiên trên ta thấy phương trình $h(x)=a,h(x)=c$, mỗi phương trình có hai nghiệm phân biệt khác $\pm 1$, mà $a\ne c\Rightarrow f^{\prime }\left(\frac{x^2+1}{x}\right)=0$ có 4 nghiệm đơn phân biệt $x_1,x_2,x_3,x_4$ khác $\pm 1$ và phương trình $h(x)=b$ vô nghiệm. Do đó phương trình $g^{\prime }(x)=0$ có 6 nghiệm đơn phân biệt lần lượt theo thứ tự từ nhỏ đến lớn là $x_1,-1,x_2,x_3,1,x_4$. Vậy hàm số $g(x)=f\left(\frac{x^2+1}{x}\right)$ có 6 cực trị. Đáp án: 6