Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị $f^{\prime }(x)$ như hình vẽ

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị f'(x): f'(x) ≤ 0 trên ℝ, f'(x)=0 tại x=1 (tiếp xúc trục hoành, f' không đổi dấu) và f'(3)=0 (đổi dấu từ âm sang dương); f' đạt giá trị nhỏ nhất −1 tại x=2.
a) Sai: f' không đổi dấu qua x=1 và chỉ đổi dấu một lần tại x=3 (từ âm sang dương), nên f có đúng một điểm cực tiểu... thực tế f nghịch biến trên (−∞;1), (1;3) và đồng biến trên (3;+∞), vậy f có một điểm cực tiểu tại x=3 — nhưng đề nói 'một điểm cực trị' thì đúng là một điểm. Xét kĩ: f' < 0 trên (−∞;1)∪(1;3), f' > 0 trên (3;+∞), nên f có duy nhất một điểm cực trị (cực tiểu tại x=3). Do đó ý a) ĐÚNG.
b) g'(x)=1+f'(x) ≥ 0 vì min f' = −1; g'(x)=0 chỉ tại x=2 (f' không đổi dấu quanh giá trị này của 1+f'), nên g đồng biến trên ℝ, không có cực trị. Ý b) SAI.
c) h'(x)=f'(x²−2x)(2x−2). Trên (−1;1): t=x²−2x∈(−1;3), f'(t)≤0 nên h'(x) = (≤0)·(<0) ≥ 0, h đồng biến trên (−1;1). Trên (3;+∞): t=x²−2x>3 nên f'(t)>0 và 2x−2>0, h'(x)>0, h đồng biến. Ý c) ĐÚNG.
d) f nghịch biến trên ℝ (f'≤0), nên với 0<1 ta có f(0)≥f(1); thực tế f'(x)<0 trên (0;1) trừ x=1, nên f(0)>f(1). Ý d) SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
f' < 0 trên (−∞;1)∪(1;3) và f' > 0 trên (3;+∞) (f'(1)=0 nhưng không đổi dấu), nên f có duy nhất một điểm cực trị (cực tiểu tại x=3).
b) (AI giải đề cho tôi)
g'(x)=1+f'(x)≥0 vì min f' = −1 tại x=2; dấu không đổi, g đồng biến trên ℝ nên không có cực tiểu.
c) (AI giải đề cho tôi)
h'(x)=f'(x²−2x)(2x−2). Với x∈(−1;1): x²−2x∈(−1;3) nên f'(x²−2x)≤0 và 2x−2<0 ⇒ h'≥0. Với x>3: x²−2x>3 nên f'>0 và 2x−2>0 ⇒ h'>0. Vậy h đồng biến trên cả hai khoảng.
d) (AI giải đề cho tôi)
f nghịch biến trên ℝ nên f(0)>f(1), do đó f(0)<f(1) là sai.