Cho hàm số $f(x)={\log }_2(x-1)$

(AI giải đề cho tôi)
a) $f(x)\le 1\iff {\log }_2(x-1)\le 1\iff 1<x-1\le 2\iff 1<x\le 3$. Tập nghiệm là $(1;3]$, không phải $(-\infty ;3]$ → sai.
b) Điều kiện $x>1$. Mẫu $\sqrt{x+8}-\sqrt{x-1}=\frac{9}{\sqrt{x+8}+\sqrt{x-1}}>0$, nên bất phương trình tương đương $({\log }_2(x-1)-3)\cdot \frac{\sqrt{x+8}+\sqrt{x-1}}{9}\ge 1$, tức $({\log }_{2}t-3)(\sqrt{t+9}+\sqrt{t})\ge 9$ với $t=x-1>0$. Vế trái đồng biến theo $t$; thử $t=16$: $(4-3)(5+4)=9$, vậy $t\ge 16\iff x\ge 17$. Số nghiệm nguyên $x<100$: $x=17,\dots ,99$ có $83$ nghiệm, không phải $85$ → sai.
c) Hàm ${\log }_2(x-1)$ xác định khi $x-1>0\iff x>1$, tập xác định $(1;+\infty )$ → đúng.
d) $2{\log }_4(x^2-x-2)={\log }_2(x^2-x-2)$, nên phương trình trở thành $x-1=x^2-x-2\iff x^2-2x-1=0\iff x=1\pm \sqrt{2}$. Kết hợp điều kiện $x>1$ và $x^2-x-2>0\iff x>2$: chỉ $x=1+\sqrt{2}\approx 2,414$ thỏa → có đúng một nghiệm, đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Tập nghiệm là $(1;3]$ do điều kiện $x>1$, không phải $(-\infty ;3]$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Nhân hai vế với liên hợp $\sqrt{x+8}+\sqrt{x-1}>0$, bất phương trình tương đương $({\log }_2(x-1)-3)\left(\sqrt{x+8}+\sqrt{x-1}\right)\ge 9$. Đặt $t=x-1>0$: $({\log }_{2}t-3)(\sqrt{t+9}+\sqrt{t})\ge 9$. Vế trái đồng biến theo $t$; thử $t=16$: $(4-3)(5+4)=9$, vậy $t\ge 16\iff x\ge 17$. Số nghiệm nguyên $x<100$: $x=17,\dots ,99$ có $83$ nghiệm, không phải $85$ → sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện $x-1>0$ nên tập xác định là $(1;+\infty )$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Phương trình đưa về $x-1=x^2-x-2$, tức $x^2-2x-1=0$; chỉ $x=1+\sqrt{2}$ thỏa điều kiện $x>2$, vậy có một nghiệm.