Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA\perp (ABC)$, tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$, góc giữa $SB$ và $AC$ bằng $60^{\circ }$, $AB=3$. Tính thể tích khối chóp $S.ABC$.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ với $AB=BC=3$ nên $AC=3\sqrt{2}$, diện tích $S_{ABC}=\frac{9}{2}$. Đặt hệ trục tọa độ $B(0;0;0)$, $A(3;0;0)$, $C(0;3;0)$; do $SA\perp (ABC)$ nên $S(3;0;h)$ với $h=SA>0$. Khi đó $\overrightarrow{SB}=(-3;0;-h)$, $\overrightarrow{AC}=(-3;3;0)$, nên $\cos (\overrightarrow{SB},\overrightarrow{AC})=\frac{|\overrightarrow{SB}\cdot \overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{SB}||\overrightarrow{AC}|}=\frac{9}{\sqrt{9+h^2}\cdot 3\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}\sqrt{9+h^2}}$. Theo giả thiết góc giữa $SB$ và $AC$ bằng $60^{\circ }$: $\frac{3}{\sqrt{2}\sqrt{9+h^2}}=\frac{1}{2}\Rightarrow 9+h^2=18\Rightarrow h=3$. Vậy $V=\frac{1}{3}\cdot \frac{9}{2}\cdot 3=\frac{9}{2}$.