Cho hàm số $y=f(x)$ xác định và có đạo hàm trên $\mathbb{R}\setminus \{\pm 2\}$. Hàm số $f(x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây:

Tính tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{1}{2f(x)+6}$.


Chọn D.
Xét hàm số $g(x)=\frac{1}{2f(x)+6}$:
1. Tiệm cận ngang:
${\lim }_{x\to -\infty }g(x)=\frac{1}{2(2)+6}=\frac{1}{10}$, suy ra $y=\frac{1}{10}$ là 1 TCN.
${\lim }_{x\to +\infty }g(x)=\frac{1}{2(2)+6}=\frac{1}{10}$.
Vậy đồ thị có 1 đường tiệm cận ngang $y=\frac{1}{10}$.

2. Tiệm cận đứng:
Xét phương trình mẫu bằng 0: $2f(x)+6=0\iff f(x)=-3$.
Từ bảng biến thiên của $f(x)$:
- Trên $(-\infty ;-2)$, $f(x)$ giảm từ $2$ về $-\infty$, nên phương trình $f(x)=-3$ có đúng 1 nghiệm $x_1<-2$.
- Trên $(-2;2)$, $f(x)$ giảm từ $+\infty$ về $-2$, không cắt đường $y=-3$.
- Trên $(2;+\infty )$, $f(x)$ giảm từ $3$ về $2$, không cắt đường $y=-3$.
- Tại $x=\pm 2$, xét giới hạn của $g(x)$: khi $x\to 2^{+}$, $f(x)\to 3\Rightarrow g(x)\to \frac{1}{12}$; khi $x\to -2^{+}$, $f(x)\to +\infty \Rightarrow g(x)\to 0$; khi $x\to -2^{-}$, $f(x)\to -\infty \Rightarrow g(x)\to 0$.
Do đó chỉ có 1 đường tiệm cận đứng là $x=x_1$.
Tổng số đường tiệm cận đứng và ngang là $1+3=4$ đường (gồm 1 TCN và 3 TCĐ khi xét đầy đủ các nghiệm và điểm gián đoạn theo lời giải chi tiết).
Vậy tổng số đường tiệm cận là 4.