Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(0)=0$ và $f^{\prime }(x)\cdot \left(1+e^{f(x)}\right)=1+e^x$, $\forall x\in \mathbb{R}$. Tính ${\int }_1^{3}f(x)dx$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $f^{\prime }(x)(1+e^{f(x)})=1+e^x$, ta có $(f(x)+e^{f(x)}{)}^{\prime }=1+e^x$, suy ra $f(x)+e^{f(x)}=x+e^x+C$. Với $f(0)=0$: $1=1+C\Rightarrow C=0$, tức $f(x)+e^{f(x)}=x+e^x$. Hàm $h(u)=u+e^u$ có $h^{\prime }(u)=1+e^u>0$ nên đồng biến, do đó $f(x)=h^{-1}(h(x))=x$ với mọi $x$. Vậy ${\int }_1^{3}f(x)dx={\int }_1^{3}xdx=\frac{9-1}{2}=4$. Đáp án A.